【題目】如圖,在三棱柱中,側(cè)面底面,,.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)若,,且與平面所成的角為,求二面角的平面角的余弦值.
【答案】(1)見解析;(2)余弦值為.
【解析】分析:(1)由四邊形為菱形,得對(duì)角線,由側(cè)面底面,, 得到側(cè)面,從而,由此能證明平面;
(2)由題意易知為等邊三角形,以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),為軸,為軸,過平行的直線為,建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面的法向量和平面的法向量,由此能求出二面角的平面角的余弦值.
詳解:(Ⅰ)由已知側(cè)面底面,, 底面,
得到側(cè)面,
又因?yàn)?/span> 側(cè)面,所以,
又由已知,側(cè)面為菱形,所以對(duì)角線,
即,,,
所以平面.
(Ⅱ)設(shè)線段的中點(diǎn)為點(diǎn),連接,,因?yàn)?/span>,易知為等邊三角形,中線 ,由(Ⅰ)側(cè)面,所以,得到平面,即為與平面所成的角, ,,, ,得到;
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),為軸,為軸,過平行的直線為,建立空間直角坐標(biāo)系,,,,,,,,
由(Ⅰ)知平面的法向量為,設(shè)平面的法向量,,
解得,,
二面角為鈍二面角,故余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的圖像與軸的相鄰兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,,且當(dāng)時(shí),有最小值.
(1)求函數(shù)的解析式及單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)將的圖像向右平移個(gè)單位,再將所得圖像的橫坐標(biāo)伸長為原來的倍(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)的圖像,若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個(gè)解,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:在平面四邊形ABCD中,,,,(如圖1),若將沿對(duì)角線BD折疊,使(如圖2).請(qǐng)?jiān)趫D2中解答下列問題.
(1)證明:;
(2)求三棱錐的高.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】
如圖,長方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,點(diǎn)E在棱AA1上,BE⊥EC1.
(1)證明:BE⊥平面EB1C1;
(2)若AE=A1E,求二面角B–EC–C1的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】把一個(gè)圓分成n(n≥2)個(gè)扇形,依次記為,每一扇形都可用紅、白、藍(lán)三種不同顏色的任一種涂色,要求相鄰的扇形的顏色互不相同,問有多少種涂色法?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若在上存在極大值,求的取值范圍;
(2)若軸是曲線的一條切線,證明:當(dāng)時(shí),.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知銳角△ABC中,內(nèi)角所對(duì)應(yīng)的邊分別為,且滿足:,,則的取值范圍是____________.
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