Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= ﹣ax+cosx（a∈R），x∈[﹣ ， ]．
（1）若函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，試求a的值；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，求證：函數(shù)f（x）在（0， ）上單調(diào)遞減．

Answer 1

【答案】
（1）解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是偶函數(shù)，

所以f（﹣x）= ﹣a（﹣x）+cos（﹣x）

= +ax+cosx

=f（x）= ﹣ax+cosx恒成立，

所以a=0；

（2）解：由題意可知 ，

設(shè) ，

則 ；注意到 ，a＞0；

由g'（x）＜0，即 ，解得 ；

由g'（x）＞0，即 ，解得 ；

所以g（x）在 上單調(diào)遞減， 上單調(diào)遞增；

所以當(dāng) ，g（x）＜g（0）=0﹣a＜0，

所以f（x）在 單調(diào)遞減，

當(dāng) ， ，

所以f（x）在 單調(diào)遞減，

所以當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在 上單調(diào)遞減

【解析】（1）根據(jù)偶函數(shù)的定義，f（﹣x）=f（x）恒成立，求出a的值；（2）利用導(dǎo)數(shù)大于0或小于0，判斷函數(shù)f（x）是單調(diào)增函數(shù)單調(diào)減函數(shù)即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)奇偶性的性質(zhì)的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個(gè)為偶就為偶，兩個(gè)為奇才為奇才能正確解答此題．