Question

【題目】設函數f（x）=lnx+ax2+x+1．

（I）a=﹣2時，求函數f（x）的極值點；

（Ⅱ）當a=0時，證明xex≥f（x）在（0，+∞）上恒成立．

Answer 1

【答案】(1) x=1是f（x）的極大值點，無極小值點(2)詳見解析

【解析】試題分析：（1）求導數判斷函數的單調性，通過單調性求極值點；（2）當a=0時構造函數F（x）=xex﹣f（x）=xex﹣lnx﹣x﹣1，（x＞0），只要證明F（x）≥=0即可。

試題解析：

（Ⅰ）由題意得函數的定義域為（0，+∞），

∵ f（x）=lnx+ax2+x+1，

∴f′（x）=﹣2x+1=，

令f′（x）＞0，解得0＜x＜1；令f′（x）＜0，解得x＞1，

∴f（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，

∴x=1是函數f（x）的極大值點，無極小值點；

（Ⅱ）證明：當a=0時，f（x）=lnx+x+1

令F（x）=xex﹣f（x）=xex﹣lnx﹣x﹣1，（x＞0），

則F′（x）= （xex﹣1），

令G（x）=xex﹣1，

則G′（x）=（x+1）ex＞0，（x＞0），

∴函數G（x）在（0，+∞）遞增，

又G（0）=﹣1＜0，G（1）=e﹣1＞0，

∴存在唯一c∈（0，1）使得G（c）=0，

且F（x）在（0，c）上單調遞減，在（c，+∞）上單調遞增，

故F（x）≥F（c）=cec﹣lnc﹣c﹣1，

由G（c）=0，得cec﹣1=0，得lnc+c=0，

∴F（c）=0，

∴F（x）≥F（c）=0，

從而證得xex≥f（x）．