【題目】(本小題滿分12分)

如圖,已知四棱錐,底面為菱形,

, 平面, 分別是的中點。

1證明: ;

2上的動點,與平面所成最大角

的正切值為,求二面角的余弦值。

【答案】(1)詳見解析(2)

【解析】試題分析:(1)由已知條件推導出, ,由線面垂直得,由此證明

(2)上任意一點,連接、,由平面,得與平面所成的角,過,連接,由已知條件得為二面角的平面角,由此求出二面角的余弦值.

試題解析:(1)證明:由四邊形為菱形, ,可得為正三角形。

因為為BC的中點,所以,又,因此,

因為 平面,所以,

,所以

(2)設上任意一點,連接

由(1)知,

與平面所成的角,在中, ,

所以當最短時, 最大,即當時, 最大,

此時,此時,又

所以 =45,于是

因為平面 平面,所以平面平面,

,則由面面垂直的性質定理可知: 平面,

所以,過過,連接, 平面,

所以,則為二面角的平面角,

中, ,

的中點, ,

中, ,

=,

中, ==

即二面角的余弦值為

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分組

頻數(shù)

頻率

[0,1)

10

b

[1,2)

20

0.20

[2,3)

a

0.30

[3,4)

20

0.20

[4,5)

10

0.10

[5,6]

10

0.10

合計

100

1.00


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