如圖,在四面體PABC中,PC⊥AB,PA⊥BC,點(diǎn)D,E,F,G分別是棱AP,AC,BC,PB的中點(diǎn).

(1)求證:DE∥平面BCP.
(2)求證:四邊形DEFG為矩形.
(3)是否存在點(diǎn)Q,到四面體PABC六條棱的中點(diǎn)的距離相等?說明理由.

（1）見解析  （2）見解析 （3）存在，理由見解析

解析證明:(1)因?yàn)镈,E分別為AP,AC的中點(diǎn),
所以DE∥PC.
又因?yàn)镈E?平面BCP,所以DE∥平面BCP .

(2)因?yàn)镈,E,F,G分別為AP,AC,BC,PB的中點(diǎn),
所以DE∥PC∥FG,
DG∥AB∥EF,
所以四邊形DEFG為平行四邊形.
又因?yàn)镻C⊥AB,所以DE⊥DG,
所以四邊形DEFG為矩形.
(3)解:存在點(diǎn)Q滿足條件,理由如下:
連接DF,EG,設(shè)Q為EG的中點(diǎn).
由(2)知,DF∩EG=Q,且QD=QE=QF=QG=EG.
分別取PC,AB的中點(diǎn)M,N,連接ME,EN,NG,MG,MN.
與(2)同理,可證四邊形MENG為矩形,其對角線交點(diǎn)為EG的中點(diǎn)Q,
且QM=QN=EG,
所以Q為滿足條件的點(diǎn).

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在如圖所示的多面體中，四邊形為正方形，四邊形是直角梯形，，平面，．

（1）求證：平面；
（2）求平面與平面所成的銳二面角的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，且側(cè)棱垂直于底面，側(cè)棱長是，D是AC的中點(diǎn)。

（1）求證：平面；
（2）求二面角的大小；
（3）求直線與平面所成的角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖,四棱錐PABCD中,AB⊥AC,AB⊥PA,AB∥CD,AB=2CD,E,F,G,M,N分別為PB,AB,BC,PD,PC的中點(diǎn)

(1)求證:CE∥平面PAD;
(2)求證:平面EFG⊥平面EMN.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在直三棱柱中，D、E分別是BC和的中點(diǎn)，已知AB=AC=AA1=4，ÐBAC=90°.

（1）求證：⊥平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖所示,四棱錐PABCD的底面為正方形,側(cè)棱PA⊥底面ABCD,且PA=AD=2,E,F,H分別是線段PA,PD,AB的中點(diǎn).

(1)求證:PB∥平面EFH;
(2)求證:PD⊥平面AHF.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖①，E、F分別是直角三角形ABC邊AB和AC的中點(diǎn)，∠B＝90°，沿EF將三角形ABC折成如圖②所示的銳二面角A1EFB，若M為線段A1C中點(diǎn)．求證：

(1)直線FM∥平面A1EB；
(2)平面A1FC⊥平面A1BC.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分別是BC、CC1、C1D1、A1A的中點(diǎn)．求證：
 
(1)BF∥HD1；
(2)EG∥平面BB1D1D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱AA1⊥底面ABC，∠ACB＝90°，E是棱CC1的中點(diǎn)，F是AB的中點(diǎn)，AC＝BC＝1，AA1＝2.

(1)求證：CF∥平面AB1E；
(2)求三棱錐C－AB1E在底面AB1E上的高．

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