Question

如圖，在直三棱柱中，D、E分別是BC和的中點(diǎn)，已知AB=AC=AA₁=4，ÐBAC=90°.

（1）求證：⊥平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）求三棱錐的體積.

Answer 1

（1）見解析   (2)    (3)8

解析試題分析：
(1)(2)(3)均可利用坐標(biāo)法,即分別以建立三維空間坐標(biāo)系.下面重點(diǎn)分析法2
(1)利用勾股定理可以求的線段的長,而要證明面,只需要證明,首先可以三次利用勾股定理把的三條邊長求出,再利用勾股定理證明,線段為等腰直角三角形ABC的三線合一即有,可得到面,進(jìn)而得到,即可通過線線垂直證明面DAE.
(2)要求二面角的余弦值,需要作出該二面角的平面角,為此過D做DM⊥AE于點(diǎn)M，連接B₁M.,根據(jù)第一問有面AED且可以得到面,則即為所求二面角的平面角,即該角的余弦值為.利用勾股定理即可得到的長,進(jìn)而得到二面角的余弦值.
(3)由(1)可得面,則該三棱錐可以以作為底面,高為來求的體積,而AD和三角形的面積都可以用勾股定理求的.
試題解析：

法1:依題意，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/96/4/dzzjp2.png" style="vertical-align:middle;" />＝4，所以A（0，0，0），B（4，0，0），E（0，4，2），D（2，2，0），B₁（4，0，4）.                         （1分）
（1），，.             （2分）
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/3d/4/vpjou.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，即.    （3分）
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/05/c/1d1u53.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，即.     （4分）
又AD、AEÌ平面AED，且AD∩AE=A，故⊥平面.          （5分）
（2）由（1）知為平面AED的一個法向量.            （6分）
設(shè)平面 B₁AE的法向量為，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/e3/5/hwv2h1.png" style="vertical-align:middle;" />，，
所以由，得，令y=1，得x=2，z=-2.即.（7分）
∴，                （8分）
∴二面角的余弦值為.                             （9分）
（3）由，，得，所以AD⊥DE. （10分）
由，，得.    （11分）
由（1）得B₁D為三棱錐B₁-ADE的高，且，             （12分）
所以