【題目】已知橢圓 的左、右焦點分別為,其離心率,焦距為4.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若是橢圓上不重合的四個點,且滿足∥,∥,,求的最小值.
【答案】(1) ; (2).
【解析】
(Ⅰ)由已知,,求出,,即可得到橢圓的方程;
(Ⅱ)由滿足∵∥,∥,,可得直線垂直相交于點.1,由(1)橢圓方程),F(xiàn)1(-2,0).
①直線AC,BD有一條斜率不存在時,|.
②直線斜率均存在,則斜率均不為0,不妨設(shè)方程
聯(lián)立,得.利用根與系數(shù)的關(guān)系可得:,把代入上式可得:,可得|,即可得出.
(Ⅰ)由已知,,∴,∴
故,橢圓方程為。
(Ⅱ)∵∥,∥,,∴直線垂直相交于點.
①直線有一條斜率不存在時,
②直線斜率均存在,則斜率均不為0,不妨設(shè)方程
聯(lián)立,得
設(shè),則
.把代入上式可得:,
,
當且僅當,即時,上式取等號
綜上可得:的最小值為.
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【題目】已知.
(1)當時,解不等式;
(2)若關(guān)于的方程的解集中恰好有一個元素,求實數(shù)的值;
(3)設(shè),若對任意,函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過,求的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)(為實數(shù)).
(1)當時,判斷函數(shù)的單調(diào)性,并用定義證明;
(2)根據(jù)的不同取值,討論的奇偶性,并說明理由.
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【題目】已知二次函數(shù)滿足,且.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值;
(3)當時,恒成立,求的取值范圍.
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【題目】已知動點到定直線的距離比到定點的距離大.
(1)求動點的軌跡的方程;
(2)過點的直線交軌跡于, 兩點,直線, 分別交直線于點, ,證明以為直徑的圓被軸截得的弦長為定值,并求出此定值.
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【題目】某單位共有10名員工,他們某年的收入如下表:
員工編號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
年薪(萬元) | 4 | 4.5 | 6 | 5 | 6.5 | 7.5 | 8 | 8.5 | 9 | 51 |
(1)求該單位員工當年年薪的平均值和中位數(shù);
(2)已知員工年薪收入與工作年限成正相關(guān)關(guān)系,某員工工作第一年至第四年的年薪分別為4萬元、5.5萬元、6萬元、8.5萬元,預(yù)測該員工第六年的年薪為多少?
附:線性回歸方程中系數(shù)計算公式分別為:,,其中、為樣本均值.
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【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)記函數(shù)的圖象為曲線.設(shè)點,是曲線上的不同兩點.如果在曲線上存在點,使得:①;②曲線在點處的切線平行于直線,則稱函數(shù)存在“中值相依切線”.試問:函數(shù)是否存在“中值相依切線”,請說明理由.
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【題目】經(jīng)觀測,某公路段在某時段內(nèi)的車流量(千輛/小時)與汽車的平均速度(千米/小時)之間有函數(shù)關(guān)系:.
(1)在該時段內(nèi),當汽車的平均速度為多少時車流量最大?最大車流量為多少?(精確到0.01)
(2)為保證在該時段內(nèi)車流量至少為10千輛/小時,則汽車的平均速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)?
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