【題目】設(shè)均為大于1的整數(shù), n個不超過m的互不相同的正整數(shù),互素.證明:對任意實(shí)數(shù)x,均存在一個,使得,其中表示實(shí)數(shù)r到與其最近的整數(shù)的距離

【答案】見解析

【解析】

先證明兩個引理,

引理1存在整數(shù)滿足

引理1的證明由于由裴蜀定理,知存在整數(shù)滿足

下面證明:通過調(diào)整,存在一組滿足式,且絕對值均不超過m.

則存在

于是,

均為正數(shù),故由式,知

因?yàn)?/span>

所以,

,故

,則存在

因此,有一個

故式成立,且

類似地,知

,

由于均為非負(fù)整數(shù),故通過有限次上述的調(diào)整,可得到一組使得式成立,且

引理2 1.對實(shí)數(shù)a、b,均有

2.對任意整數(shù)u和實(shí)數(shù)y,均有

引理2的證明,由于對任意整數(shù)u和實(shí)數(shù)x,均有,于是,不妨設(shè),此時,。

,不妨設(shè),則

。

若ab>0,即a、b同號,

當(dāng)時,有,此時,

;

當(dāng)時,總有

1得證。

1,知2成立,

引理1、2得證。

由引理1,知存在整數(shù)使得

,于是

由引理2

因此,

,由式

,則在中存在兩個相鄰正整數(shù)。不妨設(shè)相鄰,則

中有一個不小于

綜上,總存在一個,滿足。

練習(xí)冊系列答案
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