Question

3．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方體，PD=CD=2，E、F分別是AB、PB的中點(diǎn)
（1）求證：EF⊥CD；
（2）求DB與平面DEF所成角的大��；
（3）在平面PAD內(nèi)求一點(diǎn)G，使GF⊥平面PCB，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 以DA、DC、DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系；
（1）根據(jù)$\overrightarrow{EF}$•$\overrightarrow{DC}$=0，可得：$\overrightarrow{EF}$⊥$\overrightarrow{DC}$，即EF⊥DC
（2）求出平面DEF的法向量為$\overrightarrow{n}$，代入夾角公式，可得DB與平面DEF所成角的大小，
（3）設(shè)G（x，0，z），求也G點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0，0），可得：G點(diǎn)為AD的中點(diǎn)．

解答 解：以DA、DC、DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），

則D（0，0，0）、A（2，0，0）、
B（2，2，0）、C（0，2，0）、
E（2，1，0）、F（1，1，1）、
P（0，0，2）
證明：（1）$\overrightarrow{EF}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{DC}$=（0，2，0）
∵$\overrightarrow{EF}$•$\overrightarrow{DC}$=0，
∴$\overrightarrow{EF}$⊥$\overrightarrow{DC}$，
即EF⊥DC
解：（2）設(shè)平面DEF的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x+y+z=0}\\{2x+y=0}\end{array}\right.$
∴令x=1，則$\overrightarrow{n}$=（1，-2，1），
故cos＜$\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
∴DB與平面DEF所成角大小為arcsin$\frac{\sqrt{3}}{6}$；
（3）G點(diǎn)為AD的中點(diǎn)．
理由：設(shè)G（x，0，z），則G∈平面PAD，$\overrightarrow{FG}$=（x-1，-1，z-1）
$\overrightarrow{FG}$•$\overrightarrow{CB}$=2（x-1）=0，
解得：x=1，
$\overrightarrow{FG}$•$\overrightarrow{CP}$=2+2（z-1）=0，
解得：z=0，
∴G點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0，0），
即G點(diǎn)為AD的中點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)直線垂直的判定，直線與平面的夾角，線面垂直的定義，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，難度中檔．