Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（12分）
（1）證明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴PA⊥AB，PD⊥CD，

∵AB∥CD，∴AB⊥PD，

又∵PA∩PD=P，且PA平面PAD，PD平面PAD，

∴AB⊥平面PAD，又AB平面PAB，

∴平面PAB⊥平面PAD；

（2）解：∵AB∥CD，AB=CD，∴四邊形ABCD為平行四邊形，

由（1）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，則四邊形ABCD為矩形，

在△APD中，由PA=PD，∠APD=90°，可得△PAD為等腰直角三角形，

設(shè)PA=AB=2a，則AD= ．

取AD中點O，BC中點E，連接PO、OE，

以O(shè)為坐標原點，分別以O(shè)A、OE、OP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，

則：D（ ），B（ ），P（0，0， ），C（ ）．

， ， ．

設(shè)平面PBC的一個法向量為 ，

由 ，得 ，取y=1，得 ．

∵AB⊥平面PAD，AD平面PAD，∴AB⊥AD，

又PD⊥PA，PA∩AB=A，

∴PD⊥平面PAB，則 為平面PAB的一個法向量， ．

∴cos＜ ＞= = ．

由圖可知，二面角A﹣PB﹣C為鈍角，

∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值為 ．

【解析】（1.）由已知可得PA⊥AB，PD⊥CD，再由AB∥CD，得AB⊥PD，利用線面垂直的判定可得AB⊥平面PAD，進一步得到平面PAB⊥平面PAD； （2.）由已知可得四邊形ABCD為平行四邊形，由（1）知AB⊥平面PAD，得到AB⊥AD，則四邊形ABCD為矩形，設(shè)PA=AB=2a，則AD= ．取AD中點O，BC中點E，連接PO、OE，以O(shè)為坐標原點，分別以O(shè)A、OE、OP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，求出平面PBC的一個法向量，再證明PD⊥平面PAB，得 為平面PAB的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣PB﹣C的余弦值．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用平面與平面垂直的判定的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．