Question

9．已知$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2≥0}\\{x+y-4≥0}\\{2x-y-5≤0}\end{array}\right.$，求：
（Ⅰ）z=$\frac{y+2}{x+1}$的取值范圍；
（Ⅱ）z=x²+y²-8x-2y+17的最小值．
（III）求z=|x-2y+1|的取值范圍．

Answer 1

分析 畫出平面區(qū)域，分別有目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求取值范圍．

解答 解：由已知得到平面區(qū)域如圖：（Ⅰ）由z=$\frac{y+2}{x+1}$的幾何意義是過(guò)點(diǎn)（-1，-2）與區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)連接的直線的斜率所以，與B連接的直線斜率最小$\frac{1-（-2）}{3-（-1）}=\frac{3}{4}$，與A連接的直線斜率最大$\frac{3-（-2）}{1-（-1）}=\frac{5}{2}$，所以z=$\frac{y+2}{x+1}$的取值范圍是[$\frac{3}{4}，\frac{5}{2}$]；
（Ⅱ）z=x²+y²-8x-2y+17=（x-4）²+（y-1）²表示區(qū)域內(nèi) 的點(diǎn)到（4，1）的距離的平方，所以最小值是與直線2x-y-5=0的距離的平方，（$\frac{4×2-1-5}{\sqrt{5}}$）²=$\frac{4}{5}$，所以最小值為$\frac{4}{5}$．
（III）z=|x-2y+1|的幾何意義表示區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到直線x-2y+1=0的距離的$\sqrt{5}$倍，因?yàn)橹本�穿過(guò)區(qū)域，所以最小值為0，點(diǎn)C到直線的距離最大，所以最大值為$\sqrt{5}×\frac{|7-2×9-1|}{\sqrt{5}}=10$，所以z=|x-2y+1|的取值范圍是[0，10]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面區(qū)域的畫法以及目標(biāo)函數(shù)的最值求法；關(guān)鍵是正確畫出區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求最值．