Question

已知點(diǎn)P是圓C:x²+y²=1外一點(diǎn).設(shè)k₁,k₂分別是過(guò)點(diǎn)P的圓C的兩條切線的斜率.

(1)若點(diǎn)P坐標(biāo)為(2,2),求k₁·k₂的值;

(2)若k₁·k₂=-λ(λ≠-1,0),求點(diǎn)P的軌跡M的方程,并指出曲線M所在圓錐曲線的類(lèi)型.

Answer 1

解:(1)設(shè)過(guò)點(diǎn)P的切線斜率為k,方程為y-2=k(x-2),即kx-y-2k+2=0.

其與圓相切,則=1,化簡(jiǎn)得3k²-8k+3=0.所以k₁·k₂=1.

(2)設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x₀,y₀),過(guò)點(diǎn)P的切線斜率為k,則方程為y-y₀=k(x-x₀),

即kx-y-2k+2=0.其與圓相切,則=1,化簡(jiǎn)得(x₀²-1)k²-2x₀y₀k+(y₀²-1)=0.

因?yàn)閗₁,k₂存在,則x₀≠±1,且Δ=(2x₀y₀)²-4(x₀²-1)(y₀²-1)=4(x₀²+y₀²-1)＞0,

k₁,k₂是方程的兩個(gè)根,所以k₁·k₂==-λ,化簡(jiǎn)得λx₀²+y₀²=λ+1,即所求的曲線M的方程為λx²+y²=λ+1(x≠±1).

若λ∈(-∞,-1),M所在圓錐曲線是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線;

若λ∈(-1,0),M所在圓錐曲線是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線;

若λ∈(0,1),M所在圓錐曲線是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓;

若λ=1,M所在圓錐曲線是圓;

若λ∈(1,+∞),M所在圓錐曲線是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓.