【題目】在正方體中邊長AB為2,P為正方形A1B1C1D1四邊上的動點,O為底面正方形ABCD的中心,Q為正方形ABCD內(nèi)一點,M,N分別為AB,BC上靠近A和C的三等分點,若線段與OP相交且互相平分,則點Q的軌跡與線段MN形成的封閉圖形的面積為____.
【答案】
【解析】
根據(jù)線段與OP互相平分,可得四邊形是平行四邊形,點Q的軌跡為過O與AB,AD平行的兩條線段,設(shè)過O平行于AB的直線交MN于點H,過O平行于AD的直線與MN交于點G,則點Q的軌跡與線段MN形成的封閉圖形是等腰直角△GHO,由此能求出點Q的軌跡與線段MN形成的封閉圖形的面積.
解:∵線段與OP互相平分,
∴四邊形是平行四邊形
∴∥
∵O為底面正方形ABCD的中心,
∴點Q的軌跡為兩條線段(過O與AB,AD平行的兩條線段),
設(shè)過O平行于AB的直線交MN于點H,過O平行于AD的直線與MN交于點G,
∴點Q的軌跡與線段MN形成的封閉圖形是等腰直角△GHO,
∵,
∴點Q的軌跡與線段MN形成的封閉圖形的面積為:
故答案為:.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x+1+|3-x|,x≥-1.
(1)求不等式f(x)≤6的解集;
(2)若f(x)的最小值為n,正數(shù)a,b滿足2nab=a+2b,求2a+b的最小值.
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【題目】《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著,書中有如下間題:“今有甲、乙、丙、丁、戊五人分五餞,令上二人所得與下三人等,且五人所得錢按順序等次差,問各得幾何?”其意思為“甲、乙、丙、丁、戊五人分五錢,甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列,問五人各得多少錢(錢:古代一種重量單位)?”這個問題中丙所得為( )
A. 錢 B. 錢 C. 1錢 D. 錢
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【題目】已知等差數(shù)列的公差大于0,且,是方程的兩根,數(shù)列的前項和為,且.
(1)求數(shù)列、的通項公式;
(2)設(shè)數(shù)列的前項和為,試比較與的大小,并用數(shù)學(xué)歸納法給予證明.
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【題目】已知函數(shù) , .
(Ⅰ)當(dāng) 時, 恒成立,求的取值范圍;
(Ⅱ)當(dāng) 時,研究函數(shù)的零點個數(shù);
(Ⅲ)求證: (參考數(shù)據(jù): ).
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【題目】已知函數(shù)(其中),.它的最小正周期為,,且的最大值為2.
(1)求的解析式;
(2)寫出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間、對稱軸和對稱中心.
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【題目】已知長度為的線段的兩個端點、分別在軸和軸上運動,動點滿足,設(shè)動點的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)過點且斜率不為零的直線與曲線交于兩點、,在軸上是否存在定點,使得直線與的斜率之積為常數(shù).若存在,求出定點的坐標(biāo)以及此常數(shù);若不存在,請說明理由.
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【題目】已知函數(shù).
(1)如圖,設(shè)直線將坐標(biāo)平面分成四個區(qū)域(不含邊界),若函數(shù)的圖象恰好位于其中一個區(qū)域內(nèi),判斷其所在的區(qū)域并求對應(yīng)的的取值范圍;
(2)當(dāng)時,求證:且,有.
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【題目】為了了解校園噪音情況,學(xué)校環(huán)保協(xié)會對校園噪音值(單位:分貝)進行了天的監(jiān)測,得到如下統(tǒng)計表:
噪音值(單位:分貝) | ||||||
頻數(shù) |
(1)根據(jù)該統(tǒng)計表,求這天校園噪音值的樣本平均數(shù)(同一組的數(shù)據(jù)用該組組間的中點值作代表).
(2)根據(jù)國家聲環(huán)境質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn):“環(huán)境噪音值超過分貝,視為重度噪音污染;環(huán)境噪音值不超過分貝,視為度噪音污染.”如果把由上述統(tǒng)計表算得的頻率視作概率,回答下列問題:
(i)求周一到周五的五天中恰有兩天校園出現(xiàn)重度噪音污染而其余三天都是輕度噪音污染的概率.
(ii)學(xué)校要舉行為期天的“漢字聽寫大賽”校園選拔賽,把這天校園出現(xiàn)的重度噪音污染天數(shù)記為,求的分布列和方差.
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