【題目】已知函數(shù)(其中),.它的最小正周期為,,且的最大值為2.
(1)求的解析式;
(2)寫出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間、對稱軸和對稱中心.
【答案】(1);(2)遞減區(qū)間;對稱軸為直線;對稱中心
【解析】
(1)先把函數(shù)化為的形式,則周期,最大值為,再與所給函數(shù)的周期,最大值比較,就可得到兩個含,,的等式,根據(jù)再得到一個含,,的等式,就可求出,,的值,得到的表達式.
(2)由(1)中得到的函數(shù)的解析式,先化簡為,把看成一個整體,就可借助基本正弦函數(shù)的單調(diào)性,對稱軸,對稱中心,求出的單調(diào)遞增區(qū)間、對稱中心、對稱軸方程.
解:(1),其中為輔助角,且,
,
,,即
的最大值為2,,解得,
所以
(2)由(1)得,
令,,解得,
函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間;
令,,解得
函數(shù)的對稱中心為;
令,,解得,
對稱軸方程為
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【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=|x-a|,a<0.
(1)證明:f(x)+f≥2;
(2)若不等式f(x)+f(2x)<的解集非空,求a的取值范圍.
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【題目】為了弘揚民族文化,某中學(xué)舉行了“我愛國學(xué),傳誦經(jīng)典”考試,并從中隨機抽取了60名學(xué)生的成績(滿分100分)作為樣本,其中成績不低于80分的學(xué)生被評為優(yōu)秀生,得到成績分布的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)若該所中學(xué)共有2000名學(xué)生,試利用樣本估計全校這次考試中優(yōu)秀生人數(shù);
(2)(i)試估計這次參加考試的學(xué)生的平均成績(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);
(ii)若在樣本中,利用分層抽樣的方法從成績不低于70分的學(xué)生中隨機抽取6人,再從中抽取3人贈送一套國學(xué)經(jīng)典學(xué)籍,試求恰好抽中2名優(yōu)秀生的概率.
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【題目】在直角坐標(biāo)系中,橢圓的方程為(為參數(shù));以原點為極點,以軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓的極坐標(biāo)方程為.
(1)求橢圓的極坐標(biāo)方程,及圓的直角坐標(biāo)方程;
(2)若動點在橢圓上,動點在圓上,求的最大值;
(3)若射線分別與橢圓交于點,求證:為定值.
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【題目】在正方體中邊長AB為2,P為正方形A1B1C1D1四邊上的動點,O為底面正方形ABCD的中心,Q為正方形ABCD內(nèi)一點,M,N分別為AB,BC上靠近A和C的三等分點,若線段與OP相交且互相平分,則點Q的軌跡與線段MN形成的封閉圖形的面積為____.
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【題目】已知點,圓.
(1)若直線過點且到圓心的距離為,求直線的方程;
(2)設(shè)過點的直線與圓交于、兩點(的斜率為負),當(dāng)時,求以線段為直徑的圓的方程.
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【題目】某籃球比賽采用7局4勝制,即若有一隊先勝4局,則此隊獲勝,比賽就此結(jié)束.由于參加比賽的兩隊實力相當(dāng),每局比賽兩隊獲勝的可能性均為.據(jù)以往資料統(tǒng)計,第一局比賽組織者可獲得門票收入40萬元,以后每局比賽門票收入比上一局增加10萬元,則組織者在此次比賽中獲得的門票收入不少于390萬元的概率為________.
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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知曲線的極坐標(biāo)方程為,直線:,直線:.以極點為原點,極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系.
(1)求直線,的直角坐標(biāo)方程以及曲線的參數(shù)方程;
(2)已知直線與曲線交于,兩點,直線與曲線交于,兩點,求的面積.
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【題目】如圖,在四棱錐中,底面是邊長為2的正方形,平面 為等腰直角三角形,,為的中點,為的中點.
(1)求異面直線與所成角的余弦值;
(2)求二面角的余弦值.
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