Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，橢圓的方程為(為參數(shù))；以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓的極坐標(biāo)方程為．

（1）求橢圓的極坐標(biāo)方程，及圓的直角坐標(biāo)方程；

（2）若動點(diǎn)在橢圓上，動點(diǎn)在圓上，求的最大值；

（3）若射線分別與橢圓交于點(diǎn)，求證：為定值.

Answer 1

【答案】（1） ，； （2）； （3）見解析.

【解析】

（1）先消去參數(shù)得到普通方程，再化為極坐標(biāo)方程；

（2）利用橢圓參數(shù)方程求出橢圓上的點(diǎn)到圓心的最遠(yuǎn)距離，從而可得；

（3）根據(jù)射線垂直的特征，求出交點(diǎn)的極坐標(biāo)，證明即可.

（1）橢圓化為普通方程為：；

將，代入得的極坐標(biāo)方程為

又圓的普通方程：，

由，得，，即

（2）由（1）知圓心為，半徑為8，則

利用橢圓參數(shù)方程，設(shè)：

得，

當(dāng)即時，，則

（3）橢圓極坐標(biāo)方程：

因為射線，互相垂直，即，

設(shè)：，，所以，．

為定值．