Question

【題目】（本小題滿分12分）

在如圖所示的多面體中，四邊形和都為矩形。

（Ⅰ）若，證明：直線平面；

（Ⅱ）設(shè)， 分別是線段， 的中點(diǎn)，在線段上是否存在一點(diǎn)，使直線平面？請(qǐng)證明你的結(jié)論。

Answer 1

【答案】（1）證明詳見(jiàn)解析；（2）存在，M為線段AB的中點(diǎn)時(shí)，直線平面.

【解析】試題分析：（1）證直線垂直平面，就是證直線垂直平面內(nèi)的兩條相交直線.已經(jīng)有了，那么再在平面內(nèi)找一條直線與BC垂直.據(jù)題意易得， 平面ABC，所以.由此得平面.（2）首先連結(jié)，取的中點(diǎn)O.考慮到， 分別是線段， 的中點(diǎn)，故在線段上取中點(diǎn)，易得.從而得直線平面.

試題解析：（Ⅰ）因?yàn)樗倪呅?/span>和都是矩形，

所以.

因?yàn)?/span>AB，AC為平面ABC內(nèi)的兩條相交直線，

所以平面ABC.

因?yàn)橹本�平面ABC內(nèi)，所以.

又由已知， 為平面內(nèi)的兩條相交直線，

所以， 平面.

（2）取線段AB的中點(diǎn)M，連接，設(shè)O為的交點(diǎn).

由已知，O為的中點(diǎn).

連接MD，OE，則MD，OE分別為的中位線.

所以， ，

連接OM，從而四邊形MDEO為平行四邊形，則.

因?yàn)橹本�平面， 平面，

所以直線平面.

即線段AB上存在一點(diǎn)M（線段AB的中點(diǎn)），使得直線平面.