【題目】如圖,在四棱錐P—ABCD中,△PAD為正三角形,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB=2AD=4.
(1)求證:平面PCD⊥平面PAD;
(2)求三棱錐P—ABC的體積;
(3)在棱PC上是否存在點E,使得BE∥平面PAD?若存在,
請確定點E的位置并證明;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)見解析;(2);(3)見解析.
【解析】分析:(1)先根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理得CD⊥平面PAD,再根據(jù)面面垂直判定定理得結(jié)果,(2)取AD的中點O,根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理得PO⊥平面ABCD,即PO為三棱錐P—ABC的高,最后根據(jù)三棱錐體積公式得結(jié)果,(3)先探索得 E為PC的中點,取CP,CD的中點E,F,利用平幾知識得四邊形ABFD為平行四邊形,即得BF∥AD,再根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)論.
詳解:(1)證明 因為AB∥CD,AB⊥AD,所以CD⊥AD.
因為平面PAD⊥平面ABCD,
平面PAD∩平面ABCD=AD,
所以CD⊥平面PAD.
因為CD平面PCD,
所以平面PCD⊥平面PAD.
(2)解 取AD的中點O,
連接PO.
因為△PAD為正三角形,
所以PO⊥AD.
因為平面PAD⊥平面ABCD,
平面PAD∩平面ABCD=AD,PO平面PAD,
所以PO⊥平面ABCD,
所以PO為三棱錐P—ABC的高.
因為△PAD為正三角形,CD=2AB=2AD=4,
所以PO=.
所以V三棱錐P—ABC=S△ABC·PO
=××2×2×=.
(3)解 在棱PC上存在點E,當E為PC的中點時,
BE∥平面PAD.
分別取CP,CD的中點E,F,連接BE,BF,EF,
所以EF∥PD.因為AB∥CD,CD=2AB,
所以AB∥FD,AB=FD,
所以四邊形ABFD為平行四邊形,
所以BF∥AD.
因為BF∩EF=F,AD∩PD=D,
所以平面BEF∥平面PAD.
因為BE平面BEF,
所以BE∥平面PAD.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】提高過江大橋的車輛通行的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況,在一般情況下,大橋上的車流速度(單位:千米/小時)是車流密度(單位:輛/千米)
的函數(shù).當橋上的車流密度達到200輛/千米時,就會造成堵塞,此時車流速度為0;當
車流密度不超過20輛/千米時,車流速度為60千米/小時.研究表明:當時,
車流速度是車流密度的一次函數(shù).
(1)當時,求函數(shù)的表達式;
(2)如果車流量(單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù)) (單位:輛/小時),那么當車流密度為多大時,車流量可以達到最大,并求出最大值.(精確到輛/小時).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】空氣質(zhì)量按照空氣質(zhì)量指數(shù)大小分為七檔(五級),相對應(yīng)空氣質(zhì)量的七個類別,指數(shù)越大,說明污染的情況越嚴重,對人體危害越大.
指數(shù) | 級別 | 類別 | 戶外活動建議 |
Ⅰ | 優(yōu) | 可正;顒 | |
Ⅱ | 良 | ||
Ⅲ | 輕微污染 | 易感人群癥狀有輕度加劇,健康人群出現(xiàn)刺激癥狀,心臟病和呼吸系統(tǒng)疾病患者應(yīng)減少體積消耗和戶外活動. | |
輕度污染 | |||
Ⅳ | 中度污染 | 心臟病和肺病患者癥狀顯著加劇,運動耐受力降低,健康人群中普遍出現(xiàn)癥狀,老年人和心臟病、肺病患者應(yīng)減少體力活動. | |
中度重污染 | |||
Ⅴ | 重污染 | 健康人運動耐受力降低,由明顯強烈癥狀,提前出現(xiàn)某些疾病,老年人和病人應(yīng)當留在室內(nèi),避免體力消耗,一般人群應(yīng)盡量減少戶外活動. |
現(xiàn)統(tǒng)計邵陽市市區(qū)2016年1月至11月連續(xù)60天的空氣質(zhì)量指數(shù),制成如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求這60天中屬輕度污染的天數(shù);
(2)求這60天空氣質(zhì)量指數(shù)的平均值;
(3)將頻率分布直方圖中的五組從左到右依次命名為第一組,第二組,…,第五組.從第一組和第五組中的所有天數(shù)中抽出兩天,記它們的空氣質(zhì)量指數(shù)分別為, ,求事件的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,以等腰直角三角形斜邊上的高為折痕,把與折成互相垂直的兩個平面后,有以下四個結(jié)論:
①;
②;
③三棱錐是正三棱錐;
④平面的法向量和平面的法向量互相垂直.
其中正確結(jié)論的序號是________________(請把正確結(jié)論的序號都填上).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,D為線段AC的中點,E為線段PC上一點.
(1)求證:PA⊥BD;
(2)求證:平面BDE⊥平面PAC;
(3)當PA∥平面BDE時,求三棱錐E-BCD的體積.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若關(guān)于的不等式的解集是,求,的值;
(2)設(shè)關(guān)于的不等式的解集是,集合,若,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若關(guān)于的不等式的解集是,求,的值;
(2)設(shè)關(guān)于的不等式的解集是,集合,若,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知向量,函數(shù)的最小值為.
(1)當時,求的值;
(2)求;
(3)已知函數(shù)為定義在上的增函數(shù),且對任意的都滿足,問:是否存在這樣的實數(shù),使不等式對所有恒成立,若存在,求出的取值范圍;若不存在,說明理由.
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