Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2+ax﹣lnx，a∈R
（1）若函數(shù)f（x）在[1，2]上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍
（2）令g（x）=f（x）﹣x2 ， 是否存在實數(shù)a，當x∈（0，e]時，函數(shù)g（x）的最小值是3？若存在，求出a的值，若不存在，說明理由
（3）當x∈（0，e]時，求證：e2x2﹣ x＞（x+1）lnx．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=2x+a﹣ = ≤0在[1，2]上恒成立，

令h（x）=2x2+ax﹣1，

∴ ，解得：a≤﹣

（2）解：假設存在實數(shù)a，使得g（x）=f（x）﹣x2=ax﹣lnx，x∈（0，e]有最小值3，

g′（x）=a﹣ = ，

①0＜ ＜e，即a＞e時，令g′（x）＞0，解得：x＞ ，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜ ，

∴函數(shù)g（x）在（0， ）遞減，在（ ，e]遞增，

∴g（x）min=g（ ）=1+lna=3，解得：a=e2，滿足條件；

② ≥e，即a≤ 時，g′（x）＜0，g（x）在（0，e]單調(diào)遞減，

∴g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，解得：a= （舍去）；

綜上，存在實數(shù)a=e2，使得x∈（0，e]時，函數(shù)g（x）有最小值3

（3）解：令F（x）=e2x﹣lnx，由（2）得：F（x）min=3，

令ω（x）= + ，ω′（x）= ，

當0＜x≤e時，ω′（x）≥0，ω（x）在（0，e]遞增，

故e2x﹣lnx＞ + ，

即：e2x2﹣ x＞（x+1）lnx

【解析】（1）先求出函數(shù)f（x）的導數(shù)，得到不等式組，解出a的范圍即可；（2）假設存在實數(shù)a，求出函數(shù)g（x）的導數(shù)，通過討論g（x）的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，從而求出a的值；（3）令F（x）=e2x﹣lnx，令ω（x）= + ，通過討論它們的單調(diào)性得到e2x﹣lnx＞ + 即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解二次函數(shù)的性質(zhì)(當時，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減)．