【題目】已知函數(shù)對任意實數(shù)恒有,且當時, ,又.
(1)判斷的奇偶性;
(2)求證: 是R上的減函數(shù);
(3)求在區(qū)間[-3,3]上的值域;
(4)若x∈R,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)奇函數(shù)(2)見解析(3)[-6,6](4)(,+∞)
【解析】試題分析:(1)利用賦值法求f(0)=0. 利用賦值法求f(-x)=-f(x),則得f(x)為奇函數(shù).(2)根據(jù)單調(diào)性定義,利用賦值法得f(x1),f(x2)大小關系,即得函數(shù)單調(diào)性(3)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即求f(3),f(-3),利用賦值法得f(3),f(-3)值(4)根據(jù)關系式化簡不等式得f(ax2-2x)<f(x-2),根據(jù)函調(diào)單調(diào)性得ax2-2x>x-2,結合二次函數(shù)圖像得不等式恒成立條件:a>0,Δ=9-8a<0,解得實數(shù)的取值范圍.
試題解析:解:(1)取x=y(tǒng)=0,則f(0+0)=2f(0),∴f(0)=0.
取y=-x,則f(x-x)=f(x)+f(-x),
∴f(-x)=-f(x)對任意x∈R恒成立,∴f(x)為奇函數(shù).
(2)證明: 任取x1,x2∈(-∞,+∞),且x1<x2,則x2-x1>0,f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0,
∴f(x2)<-f(-x1),又f(x)為奇函數(shù),
∴f(x1)>f(x2).
∴f(x)是R上的減函數(shù).
(3)由(2)知f(x)在R上為減函數(shù),
∴對任意x∈[-3,3],恒有f(3)≤f(x)≤f(-3),
∵f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=-2×3=-6,
∴f(-3)=-f(3)=6,f(x)在[-3,3]上的值域為[-6,6].
(4)f(x)為奇函數(shù),整理原式得f(ax2)+f(-2x)<f(x)+f(-2),
則f(ax2-2x)<f(x-2),
∵f(x)在(-∞,+∞)上是減函數(shù),∴ax2-2x>x-2,
當a=0時,-2x>x-2在R上不是恒成立,與題意矛盾;
當a>0時,ax2-2x-x+2>0,要使不等式恒成立,則Δ=9-8a<0,即a>;
當a<0時,ax2-3x+2>0在R上不是恒成立,不合題意.
綜上所述,a的取值范圍為(,+∞).
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【題目】已知f(x)= (ax﹣a﹣x)(a>0且a≠1).
(1)判斷f(x)的奇偶性.
(2)討論f(x)的單調(diào)性.
(3)當x∈[﹣1,1]時,f(x)≥b恒成立,求b的取值范圍.
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【題目】如圖所示,在四棱錐中,四邊形為矩形, 為等腰三角形, ,平面平面,且, , 分別為的中點.
(1)證明: 平面;
(2)證明:平面平面;
(3)求四棱錐的體積.
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【題目】已知全集U=R,A={x|x≥3},B={x|x2﹣8x+7≤0},C={x|x≥a﹣1}
(1)求A∩B,A∪B;
(2)若A∩C=C,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ln .
(1)求函數(shù)f(x)的定義域,并判斷函數(shù)f(x)的奇偶性;
(2)對于x∈[2,6],f(x)>ln 恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
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【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn , 通項公式為 . (Ⅰ)計算f(1),f(2),f(3)的值;
(Ⅱ)比較f(n)與1的大小,并用數(shù)學歸納法證明你的結論.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+ax﹣lnx,a∈R
(1)若函數(shù)f(x)在[1,2]上是減函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍
(2)令g(x)=f(x)﹣x2 , 是否存在實數(shù)a,當x∈(0,e]時,函數(shù)g(x)的最小值是3?若存在,求出a的值,若不存在,說明理由
(3)當x∈(0,e]時,求證:e2x2﹣ x>(x+1)lnx.
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