【題目】已知函數(shù)
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)a>0,求函數(shù)f(x)在[2a,4a]上的最小值;
(3)某同學(xué)發(fā)現(xiàn):總存在正實數(shù)a、b(a<b),使ab=ba , 試問:他的判斷是否正確?若不正確,請說明理由;若正確,請直接寫出a的取值范圍(不需要解答過程).

【答案】
(1)解:定義域為(0,+∞), ,

,則x=e,

當(dāng)x變化時,f'(x),f(x)的變化情況如下表:

x

(0,e)

e

(e,+∞)

f'(x)

+

0

f(x)

∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,e);單調(diào)減區(qū)間為(e,+∞)


(2)解:由(1)知f(x)在(0,e)上單調(diào)遞增,在(e,+∞)上單調(diào)遞減,所以,

當(dāng)4a≤e時,即 時,f(x)在[2a,4a]上單調(diào)遞增,∴f(x)min=f(2a);

當(dāng)2a≥e時,f(x)在[2a,4a]上單調(diào)遞減,∴f(x)min=f(4a)

當(dāng)2a<e<4a時,即 時,f(x)在[2a,e]上單調(diào)遞增,f(x)在[e,4a]上單調(diào)遞減,

∴f(x)min=min{f(2a),f(4a)}.

下面比較f(2a),f(4a)的大小,

∴若 ,則f(a)﹣f(2a)≤0,此時 ;

,則f(a)﹣f(2a)>0,此時 ;

綜上得:

當(dāng)0<a≤1時, ;

當(dāng)a>1時,


(3)解:正確,a的取值范圍是1<a<e

理由如下,考慮幾何意義,即斜率,當(dāng)x→+∞時,f(x)→0

又∵f(x)在(0,e)上單調(diào)遞增,在(e,+∞)上單調(diào)遞減

∴f(x)的大致圖象如右圖所示

∴總存在正實數(shù)a,b且1<a<e<b,使得f(a)=f(b),即 ,即ab=ba


【解析】(1)先確定函數(shù)的定義域,再利用導(dǎo)數(shù),可求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)根據(jù)f(x)在(0,e)上單調(diào)遞增,在(e,+∞)上單調(diào)遞減,結(jié)合函數(shù)的定義域,分類討論,可求函數(shù)f(x)在[2a,4a]上的最小值;(3)a的取值范圍是1<a<e,利用f(x)在(0,e)上單調(diào)遞增,在(e,+∞)上單調(diào)遞減,即可求得.
【考點精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù),需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值才能得出正確答案.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知f(x)= (ax﹣ax)(a>0且a≠1).
(1)判斷f(x)的奇偶性.
(2)討論f(x)的單調(diào)性.
(3)當(dāng)x∈[﹣1,1]時,f(x)≥b恒成立,求b的取值范圍.

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【題目】已知函數(shù)f(x)=ln
(1)求函數(shù)f(x)的定義域,并判斷函數(shù)f(x)的奇偶性;
(2)對于x∈[2,6],f(x)>ln 恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.

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【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn , 通項公式為 . (Ⅰ)計算f(1),f(2),f(3)的值;
(Ⅱ)比較f(n)與1的大小,并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.

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【題目】

已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),記數(shù)列{an}的前n項和為Sn,數(shù)列{an2}的前n項和為Tn,且3TnSn2+2Sn,n∈N*

(Ⅰ)求a1的值;

(Ⅱ)求數(shù)列{an}的通項公式;

(Ⅲ)若kt∈N*,且S1SkS1,StSk成等比數(shù)列,求kt的值.

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【題目】

已知函數(shù)f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax,a∈R.

(Ⅰ)曲線yf(x)x=0處的切線的斜率為3,a的值;

(Ⅱ)若對于任意x∈(0,+∞),f(x)+f(-x)≥12lnx恒成立,求a的取值范圍;

(Ⅲ)若a>1,設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上的最大值、最小值分別為M(a)、m(a),

h(a)=M(a)-m(a),h(a)的最小值.

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【題目】繼共享單車之后,又一種新型的出行方式------“共享汽車”也開始亮相北上廣深等十余大中城市,一款叫“一度用車”的共享汽車在廣州提供的車型是“奇瑞eQ”,每次租車收費按行駛里程加用車時間,標準是“1元/公里+0.1元/分鐘”,李先生家離上班地點10公里,每天租用共享汽車上下班,由于堵車因素,每次路上開車花費的時間是一個隨機變量,根據(jù)一段時間統(tǒng)計40次路上開車花費時間在各時間段內(nèi)的情況如下:

時間(分鐘)

次數(shù)

8

14

8

8

2

以各時間段發(fā)生的頻率視為概率,假設(shè)每次路上開車花費的時間視為用車時間,范圍為分鐘.

(Ⅰ)若李先生上.下班時租用一次共享汽車路上開車不超過45分鐘,便是所有可選擇的交通工具中的一次最優(yōu)選擇,設(shè)是4次使用共享汽車中最優(yōu)選擇的次數(shù),求的分布列和期望.

(Ⅱ)若李先生每天上下班使用共享汽車2次,一個月(以20天計算)平均用車費用大約是多少(同一時段,用該區(qū)間的中點值作代表).

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【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+ax﹣lnx,a∈R
(1)若函數(shù)f(x)在[1,2]上是減函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍
(2)令g(x)=f(x)﹣x2 , 是否存在實數(shù)a,當(dāng)x∈(0,e]時,函數(shù)g(x)的最小值是3?若存在,求出a的值,若不存在,說明理由
(3)當(dāng)x∈(0,e]時,求證:e2x2 x>(x+1)lnx.

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【題目】如圖,四棱錐中,側(cè)面為等邊三角形且垂直于底面

.

(1)證明: ;

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