Question

（2012•威海一模）已知橢圓

x2

4

+

y2

b2

=1（0＜b＜2）的離心率等于

3

2

，拋物線x²=2py （p＞0）．
（1）若拋物線的焦點(diǎn)F在橢圓的頂點(diǎn)上，求橢圓和拋物線的方程；
（2）若拋物線的焦點(diǎn)F為（0，

1

2

），在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得過(guò)點(diǎn)P的切線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，且滿足OA⊥OB？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的幾何性質(zhì)，確定橢圓的方程，可得拋物線的焦點(diǎn)，即可求拋物線的方程；
（2）求出過(guò)P的切線方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及向量的數(shù)量積公式，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）由橢圓方程得：a=2，e=

c

a

=

3

2

∴c=

3

，∴b=

a2-c2

=1　　
∴橢圓方程為

x2

4

+y2=1；
由題意得：拋物線的焦點(diǎn)應(yīng)為橢圓的上頂點(diǎn)，即（0，1）點(diǎn)，∴p=2
∴拋物線方程為x²=4y
（2）由題意可得p=1，∴拋物線方程為x²=2y…①
設(shè)拋物線上存在一點(diǎn)P（a，b），則拋物線在點(diǎn)P處的切線斜率為k=y′|_x=a=a
∴過(guò)點(diǎn)P的切線方程為y-b=a（x-a），即y=ax-b
代入橢圓方程，可得（4a²+1）x²-8abx+4b²-4=0…②
設(shè)切線與橢圓的交點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），故x₁+x₂=

8ab

4a2+1

，x₁x₂=

4b2-4

4a2+1

∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂═(a2+1)x1x2-ab(x1+x2)+b2=

(a2+1)(4b2-4)-8a2b2+(4a2+1)b2

4a2+1

∵OA⊥OB，∴

OA

•

OB

=0
∴4a²-5b²+4=0
代入a²=2b可得5b²-8b-4=0
∴b=2或-

2

5

（舍去）
b=2代入①得a=±2
將a，b代入②檢驗(yàn)△=208＞0
∴存在這樣的點(diǎn)P（±2，2）滿足條件．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．