【題目】若函數(shù)滿足:對于任意正數(shù),都有,且,則稱函數(shù)為“函數(shù)”。
(1)試判斷函數(shù)是否是“函數(shù)”并說明理由;
(2)若函數(shù)為“函數(shù)”,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)若函數(shù)為“函數(shù)”,且.
求證();
()對任意,都有.
【答案】(1)是,理由見解析;(2)(3)()證明見解析;()證明見解析
【解析】
(1)根據(jù)定義逐判斷即可;
(2)根據(jù)定義可知g(t)=3t﹣1+a(3﹣t﹣1)>0,即(3t﹣1)(3t﹣a)>0對一切正數(shù)t恒成立,可得a≤1,由g(t)+g(s)<g(t+s),可得3s+t﹣3s﹣3t+1+a(3﹣s﹣t﹣3﹣s﹣3﹣t+1)>0,得出a≥﹣1,最后求出a的范圍;
(3)根據(jù)定義,令s=t,可知f(2s)>2f(s),即,利用累乘得對于正整數(shù)k與正數(shù)s,都有,進(jìn)而得出結(jié)論.
(1)對于函數(shù),當(dāng)t>0,s>0時(shí),,
又,所以f1(s)+f1(t)<f1(s+t),
故是“L函數(shù)”.
(2)當(dāng)t>0,s>0時(shí),由g(x)=3x﹣1+a(3﹣x﹣1)是“L函數(shù)”,
可知g(t)=3t﹣1+a(3﹣t﹣1)>0,即(3t﹣1)(3t﹣a)>0對一切正數(shù)t恒成立,
又3t﹣1>0,可得a<3t對一切正數(shù)t恒成立,所以a≤1.
由g(t)+g(s)<g(t+s),可得3s+t﹣3s﹣3t+1+a(3﹣s﹣t﹣3﹣s﹣3﹣t+1)>0,
即3t(3s﹣1)﹣(3s﹣1)+a(3﹣s﹣1)(3﹣t﹣1)=(3s﹣1)(3t﹣1)+a(3﹣s﹣1)(3﹣t﹣1)
=(3s﹣1)(3t﹣1
故(3s﹣1)(3t﹣1)(3s+t+a)>0,又(3t﹣1)(3s﹣1)>0,故3s+t+a>0,
由3s+t+a>0對一切正數(shù)s,t恒成立,可得a+1≥0,即a≥﹣1.
綜上可知,a的取值范圍是[﹣1,1].
(3)由函數(shù)f(x)為“L函數(shù)”,可知對于任意正數(shù)s,t,
都有f(s)>0,f(t)>0,且f(s)+f(t)<f(s+t),
令s=t,可知f(2s)>2f(s),即,
故對于正整數(shù)k與正數(shù)s,都有,
對任意x∈(2k﹣1,2k)(k∈N*),可得,又f(1)=1,
所以,
同理,
故.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地級市共有中小學(xué)生,其中有學(xué)生在年享受了“國家精準(zhǔn)扶貧”政策,在享受“國家精準(zhǔn)扶貧”政策的學(xué)生中困難程度分為三個(gè)等次:一般困難、很困難、特別困難,且人數(shù)之比為,為進(jìn)一步幫助這些學(xué)生,當(dāng)?shù)厥姓O(shè)立“專項(xiàng)教育基金”,對這三個(gè)等次的困難學(xué)生每年每人分別補(bǔ)助元、元、元,經(jīng)濟(jì)學(xué)家調(diào)查發(fā)現(xiàn),當(dāng)?shù)厝司芍淠晔杖胼^上一年每增加,一般困難的學(xué)生中有會(huì)脫貧,脫貧后將不再享受“精準(zhǔn)扶貧”政策,很困難的學(xué)生中有轉(zhuǎn)為一般困難,特別困難的學(xué)生中有轉(zhuǎn)為很困難.現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了該地級市年到年共年的人均可支配年收入,對數(shù)據(jù)初步處理后得到了如圖所示的散點(diǎn)圖和表中統(tǒng)計(jì)量的值,其中年份取時(shí)代表年,與(萬元)近似滿足關(guān)系式,其中,為常數(shù).(年至年該市中學(xué)生人數(shù)大致保持不變)
其中,
(1)估計(jì)該市年人均可支配年收入;
(2)求該市年的“專項(xiàng)教育基金”的財(cái)政預(yù)算大約為多少?
附:對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù),,,,其回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】朱載堉(1536~1611),是中國明代一位杰出的音樂家、數(shù)學(xué)家和天文歷算家,他的著作《律學(xué)新說》中制成了最早的“十二平均律”.十二平均律是目前世界上通用的把一組音(八度)分成十二個(gè)半音音程的律制,各相鄰兩律之間的頻率之比完全相等,亦稱“十二等程律”.即一個(gè)八度13個(gè)音,相鄰兩個(gè)音之間的頻率之比相等,且最后一個(gè)音是最初那個(gè)音的頻率的2倍.設(shè)第三個(gè)音的頻率為,第七個(gè)音的頻率為,則=
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】新高考最大的特點(diǎn)就是取消文理分科,除語文、數(shù)學(xué)、外語之外,從物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理這6科中自由選擇三門科目作為選考科目.某研究機(jī)構(gòu)為了了解學(xué)生對全文(選擇政治、歷史、地理)的選擇是否與性別有關(guān),從某學(xué)校高一年級的1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取男生,女生各25人進(jìn)行模擬選科.經(jīng)統(tǒng)計(jì),選擇全文的人數(shù)比不選全文的人數(shù)少10人.
(1)估計(jì)在男生中,選擇全文的概率.
(2)請完成下面的列聯(lián)表;并估計(jì)有多大把握認(rèn)為選擇全文與性別有關(guān),并說明理由;
選擇全文 | 不選擇全文 | 合計(jì) | |
男生 | 5 | ||
女生 | |||
合計(jì) |
附:,其中.
P() | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.076 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知雙曲線以、為焦點(diǎn),且過點(diǎn)
(1)求雙曲線與其漸近線的方程;
(2)是否存在斜率為2的直線與雙曲線右支相交于兩點(diǎn),且(為坐標(biāo)原點(diǎn)).若存在,求直線的方程;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在路邊安裝路燈:路寬米,燈桿長米,且與燈柱成120°角,路燈采用錐形燈罩,燈罩軸線與燈桿垂直且正好通過道路路面的中線.
(1)求燈柱高的長度(精確到0.01米);
(2)若該路燈投射出的光成一個(gè)圓錐體,該圓錐體母線與軸線的夾角是30°,寫出路燈在路面上投射出的截面圖形的邊界是什么曲線?寫出其相應(yīng)的幾何量(精確到0.01米).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法中正確的是( )
A. “”是“”成立的充分不必要條件
B. 命題,則
C. 為了了解800名學(xué)生對學(xué)校某項(xiàng)教改試驗(yàn)的意見,用系統(tǒng)抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為40的樣本,則分組的組距為40
D. 已知回歸直線的斜率的估計(jì)值為1.23,樣本點(diǎn)的中心為,則回歸直線方程為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某互聯(lián)網(wǎng)公司為了確定下一季度的前期廣告投入計(jì)劃,收集了近個(gè)月廣告投入量(單位:萬元)和收益(單位:萬元)的數(shù)據(jù)如下表:
月份 | ||||||
廣告投入量 | ||||||
收益 |
他們分別用兩種模型①,②分別進(jìn)行擬合,得到相應(yīng)的回歸方程并進(jìn)行殘差分析,得到如圖所示的殘差圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值:
(Ⅰ)根據(jù)殘差圖,比較模型①,②的擬合效果,應(yīng)選擇哪個(gè)模型?并說明理由;
(Ⅱ)殘差絕對值大于的數(shù)據(jù)被認(rèn)為是異常數(shù)據(jù),需要剔除:
(。┨蕹惓(shù)據(jù)后求出(Ⅰ)中所選模型的回歸方程
(ⅱ)若廣告投入量時(shí),該模型收益的預(yù)報(bào)值是多少?
附:對于一組數(shù)據(jù),,……,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為:
,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地?cái)M建造一座體育館,其設(shè)計(jì)方案側(cè)面的外輪廓線如圖所示:曲線是以點(diǎn)為圓心的圓的一部分,其中,是圓的切線,且,曲線是拋物線的一部分,,且恰好等于圓的半徑.
(1)若米,米,求與的值;
(2)若體育館側(cè)面的最大寬度不超過75米,求的取值范圍.
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