【題目】設(shè)是定義在上的函數(shù),若存在,使得單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,則稱(chēng)上的單峰函數(shù),為峰點(diǎn),包含峰點(diǎn)的區(qū)間稱(chēng)為含峰區(qū)間,其含峰區(qū)間的長(zhǎng)度為:

(1)判斷下列函數(shù)中,哪些是“上的單峰函數(shù)”?若是,指出峰點(diǎn);若不是,說(shuō)出原因;

(2)若函數(shù)上的單峰函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(3)若函數(shù)是區(qū)間上的單峰函數(shù),證明:對(duì)于任意的,若,則為含峰區(qū)間;若,則為含峰區(qū)間;試問(wèn)當(dāng)滿(mǎn)足何種條件時(shí),所確定的含峰區(qū)間的長(zhǎng)度不大于0.6.

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)證明見(jiàn)解析;

【解析】

1)畫(huà)出四個(gè)函數(shù)圖像,根據(jù)圖像集合單峰函數(shù)的定義進(jìn)行判斷.

2)利用的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間列不等式,解不等式求得的取值范圍.

3)分成、兩種情況進(jìn)行分類(lèi)討論,利用反證法證得結(jié)論成立.根據(jù)含峰區(qū)間的長(zhǎng)度的概念列不等式,由此確定滿(mǎn)足的條件.

1)①圖像如下圖所示,其對(duì)稱(chēng)軸為,由圖可知,上的單峰函數(shù),峰點(diǎn)為;

的圖像如下圖所示,其對(duì)稱(chēng)軸為,由圖可知,上的單峰函數(shù),峰點(diǎn)為

的圖像如下圖所示,根據(jù)圖像可知,不是上的單峰函數(shù);

的圖像如下圖所示,其對(duì)稱(chēng)軸為,由圖可知,上的單峰函數(shù),峰點(diǎn)為.

2)函數(shù)上的單峰函數(shù),令,解得,故時(shí),遞增,時(shí),遞減,所以,解得,故的取值范圍是.

(3)設(shè)的峰點(diǎn),則由單峰函數(shù)定義可知,上遞增,在上遞減.

當(dāng)時(shí),假設(shè),則,從而,與矛盾,所以,即是含峰區(qū)間.

當(dāng)時(shí),假設(shè),則,從而,與矛盾,所以,即是含峰區(qū)間.

在所得的含峰區(qū)間內(nèi)選取,由,確定一個(gè)新的含峰區(qū)間,對(duì)先選擇的,,①,在第一次確定的含峰區(qū)間為的情況下,的取值應(yīng)滿(mǎn)足②,由①②可得,當(dāng)時(shí),含峰區(qū)間的長(zhǎng)度為.

由條件,得,從而.因此確定的含峰區(qū)間的長(zhǎng)度不大于,只要取.

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(1)求直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程;

(2)設(shè)為橢圓上任意一點(diǎn),求的最大值.

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(1)請(qǐng)完成上面的列聯(lián)表,并判斷在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下,能否認(rèn)為網(wǎng)民對(duì)網(wǎng)絡(luò)知識(shí)付費(fèi)的態(tài)度與年齡有關(guān)?

(2)在上述樣本中用分層抽樣的方法,從支持和反對(duì)網(wǎng)絡(luò)知識(shí)付費(fèi)的兩組網(wǎng)民中抽取名,若在上述名網(wǎng)民中隨機(jī)選人,設(shè)這人中反對(duì)態(tài)度的人數(shù)為隨機(jī)變量,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附: , .

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