Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若，，且在上的最大值為，最小值為，試求，的值；

（2）若，，且對(duì)任意恒成立，求的取值范圍.（用來(lái)表示）

Answer 1

【答案】(1)；(2) 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

【解析】

（1）求得二次函數(shù)的對(duì)稱軸，根據(jù)對(duì)稱軸和區(qū)間的位置關(guān)系，分類討論，待定系數(shù)即可求得；

（2）對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最值，即可容易求得參數(shù)范圍.

（1）由題可知是開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為的二次函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

故可得顯然不符合題意，故舍去；

當(dāng)，二次函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

且當(dāng)時(shí)，取得最小值，故，不符合題意，故舍去；

當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)在處取得最小值，在時(shí)取得最大值.

則；，整理得；

則，解得或（舍），

故可得.

綜上所述：.

（2）由題可知，

因?yàn)?/span>對(duì)任意恒成立，

即對(duì)任意恒成立，

即對(duì)任意恒成立，

令，則，且.

因?yàn)?/span>，故可得.

①當(dāng)，即時(shí)，

在區(qū)間單調(diào)遞減，

故，

則，

解得.

此時(shí)，，也即，

故.

②當(dāng)，即時(shí)，

在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

，即

又因?yàn)?/span>，，

則，

故的最大值為，

則，解得，

此時(shí)，

故可得.

綜上所述：

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，.