Question

已知橢圓的離心率，點F為橢圓的右焦點，點A、B分別為橢圓的左、右頂點，點M為橢圓的上頂點，且滿足（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在直線，當直線交橢圓于P、Q兩點時，使點F恰為的垂心（三角形三條高的交點）？若存在，求出直線方程；若不存在，請說明理由。

Answer 1

（1）；（2）當時，△不存在，故舍去．
當時，所求直線存在，且直線的方程為．

第一問中利用根據題意得，，，，
，，
，又，


第二問中，假設存在直線交橢圓于，兩點，且為△的垂心，
設，
因為，，故．                    …………7分
于是設直線的方程為，
由得，結合韋達定理并由題意應有，又，得到結論。
解：根據題意得，，，，
，，
，又，


故橢圓方程為．   　　　　               …………5分
（Ⅱ）假設存在直線交橢圓于，兩點，且為△的垂心，
設，
因為，，故．                    …………7分
于是設直線的方程為，
由得．
由，得， 且,．   ……9分
由題意應有，又，
故，
得．
即．
整理得．
解得或．                              …………11分
經檢驗，當時，△不存在，故舍去．
當時，所求直線存在，且直線的方程為．
…………12分