Question

已知為常數(shù)，，函數(shù)，且方程有等根．
（1）求的解析式及值域；
（2）設(shè)集合，，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）是否存在實(shí)數(shù)，使的定義域和值域分別為和？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1），值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/a8/1/oanrc.png" style="vertical-align:middle;" />；（2）；（3）存在，使的定義域和值域分別為和.

解析試題分析：（1）由方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則，得，又由，可求，從而求得，進(jìn)而得出函數(shù)的值域；
（2）首先對(duì)集合進(jìn)行分類：①；②；然后根據(jù)二次函數(shù)圖像以及根的分布情況，分別確定實(shí)數(shù)的取值范圍；最后將這兩類情況的實(shí)數(shù)的取值范圍取并集即可；
（3）由函數(shù)的最大值，確定，從而知當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù).若滿足題設(shè)條件的存在，則，從而可求的值.  
試題解析：（1）                    
又方程，，即有等根，
，即，從而，.                                                    
又，值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/a8/1/oanrc.png" style="vertical-align:middle;" />.               
（2），
①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，解得；
②當(dāng)時(shí)，設(shè)，對(duì)稱軸，要，只需，解得， . 
綜合①②，得.
（3），則有，.
又因?yàn)閷?duì)稱軸，所以在是增函數(shù)，即，
解得，.
∴存在，使的定義域和值域分別為和.
考點(diǎn)：一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系；函數(shù)解析式的求解及常用方法；二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值．