分析 (1)f′(x)=(4x-4a)(lnx+1),(a>0),令f′(x)=0,得x=a,或x=$\frac{1}{e}$.分以下三種情況:①當a=$\frac{1}{e}$時,②當0$<a<\frac{1}{e}$時,③當a$>\frac{1}{e}$時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)不等式(2x-4a)lnx>-x對?x∈[1,+∞)恒成立?不等式x(2x-4a)lnx>-x2對?x∈[1,+∞)恒成立
?f(x)>0對?x∈[1,+∞)恒成立,結合(1)求解.
解答 解:(1)函數(shù)函數(shù)f(x)=(2x2-4ax)lnx+x2的定義域為(0,+∞).
f′(x)=(4x-4a)(lnx+1),(a>0),令f′(x)=0,得x=a,或x=$\frac{1}{e}$.
①當a=$\frac{1}{e}$時,f′(x)≥0在(0,+∞)恒成立,此時函數(shù)的增區(qū)間為(0,+∞),無減區(qū)間;
②當0$<a<\frac{1}{e}$時,x∈(0,a),($\frac{1}{e},+∞$)時,f′(x)>0,x$∈(a,\frac{1}{e})$時,f′(x)<0,
此時函數(shù)的增區(qū)間為(0,a),($\frac{1}{e},+∞$),減區(qū)間為:(a,$\frac{1}{e}$);
③當a$>\frac{1}{e}$時,x$∈(0,\frac{1}{e}),(a,+∞)$時,f′(x)>0,x$∈(\frac{1}{e},a)$時,f′(x)<0,
此時函數(shù)的增區(qū)間為,(0,$\frac{1}{e}$),(a,+∞),減區(qū)間為:($\frac{1}{e},a$).
(2)不等式(2x-4a)lnx>-x對?x∈[1,+∞)恒成立
?不等式x(2x-4a)lnx>-x2對?x∈[1,+∞)恒成立,
?f(x)>0對?x∈[1,+∞)恒成立,而f(1)=1>0,
由(1)得:當0<a≤1時,函數(shù)在[1,+∞)遞增,f(x)≥f(1)>0,符合題意.
當a>1時,函數(shù)在(1,a)遞減,在(a,+∞)遞增,
故只需f(a)=a2(1-2lna)>0,即2lna<1,解得a$<\sqrt{e}$.
故1$<a<\sqrt{e}$符合題意
綜上:a的取值范圍為(0,$\sqrt{e}$).
點評 本題考查了利用導數(shù)求單調(diào)區(qū)間、函數(shù)最值,考查了轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{a+b}{2}≥\sqrt{ab}$(a>0,b>0) | B. | a2+b2≥2ab(a>0,b>0) | ||
C. | $\frac{2ab}{a+b}≤\sqrt{ab}$(a>0,b>0) | D. | $\frac{a+b}{2}≤\sqrt{\frac{{{a^2}+{b^2}}}{2}}$(a>0,b>0) |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 2$\sqrt{2}$+1 | B. | 2$\sqrt{2}$-1 | C. | $\sqrt{6}$+1 | D. | $\sqrt{6}$-1 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
歲數(shù)x | 1 | 2 | 6 | 12 | 16 | 17 |
花費累積y(萬元) | 1 | 2.8 | 9 | 17 | 22 | 24 |
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