Question

設(shè)函數(shù),的兩個極值點(diǎn)為,線段的中點(diǎn)為.
(1) 如果函數(shù)為奇函數(shù),求實(shí)數(shù)的值;當(dāng)時，求函數(shù)圖象的對稱中心；
(2) 如果點(diǎn)在第四象限,求實(shí)數(shù)的范圍;
(3) 證明:點(diǎn)也在函數(shù)的圖象上,且為函數(shù)圖象的對稱中心.

Answer 1

（1）函數(shù)圖象的對稱中心為（1，0）.
（2）或.
（3）由（2）得點(diǎn)，推出點(diǎn)也在函數(shù)的圖象上.    
設(shè)為函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，
求得關(guān)于的對稱點(diǎn)為 
證明在函數(shù)的圖像上.證得為函數(shù)的對稱中心.

試題分析：（1）【法一】因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824005404613451.png" style="vertical-align:middle;" />為奇函數(shù)，所以, 得：.
當(dāng)時，，有，則為奇函數(shù).   4分
【法二】,恒成立， , 求得.
當(dāng)時，，該圖象可由奇函數(shù)的圖象向右平移一個單位得到， 可知函數(shù)圖象的對稱中心為（1，0）.   4分
（2）,
令，則為兩實(shí)根.,.
 
=
= , 
點(diǎn)在第四象限,得：  
或.    10分
（3）由（2）得點(diǎn)，
又
=，所以點(diǎn)也在函數(shù)的圖象上.      12分
設(shè)為函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，
關(guān)于的對稱點(diǎn)為 
而
=.
即在函數(shù)的圖像上.
所以，為函數(shù)的對稱中心.     16分
【法二】設(shè) 



 .
為奇函數(shù)，
對稱中心為.
把函數(shù)的圖象按向量
平移后得的圖象，
 為函數(shù)的對稱中心.    16分
點(diǎn)評：中檔題，本題解法較多，緊緊圍繞函數(shù)圖象的對稱性展開討論。奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱。