17.如圖,△ABC是等邊三角形,D是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)(D不與A、C重合),E為BC邊的延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn),且在運(yùn)動(dòng)過程中始終保持CE=AD,連接DE.
(1)如圖(1),當(dāng)點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)時(shí),試判斷△BDE的形狀,并證明你的結(jié)論;
(2)如圖(2),當(dāng)點(diǎn)D為BC邊上任一位置時(shí),(1)中的結(jié)論是否成立,請(qǐng)加以證明.

分析 (1)因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形,所以∠ABC=∠ACB=60°,BD是AC邊上的中線,則∠DBC=30°,再由題中條件求出∠E=30°,即可判斷△BDE的形狀.
(2)作DF∥AB,易證得△DFC是等邊三角形,得出DC=FC=DF,然后依據(jù)SAS證得△BDF≌△EDC,證得∠B=∠E,即可證得△BDE是等腰三角形.

解答 (1)證明:∵△ABC是等邊三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°,
∵AD=CD,
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°,
∵CE=CD,
∴∠CDE=∠E,
∵∠ACB=∠CDE+∠E,
∴∠E=30°,
∴∠DBE=∠E,
∴BD=DE,
∴△BDE是等腰三角形.
(2)成立,
證明:如圖(2),作DF∥AB,
∴∠DFC=∠ABC=60°,
∵∠ACB=60°,
∴△DFC是等邊三角形,
∴DC=FC=DF,
∵AC=BC,
∴AC-DC=BC-FC,即AD=BF,
∵CE=AD,
∴CE=BF,
在△BDF和△EDC中
$\left\{\begin{array}{l}{DF=DC}\\{∠BFD=∠ECD=120°}\\{BF=CE}\end{array}\right.$
∴△BDF≌△EDC(SAS),
∴∠B=∠E,
∴BD=ED,
∴△BDE是等腰三角形.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì);此題把等邊三角形的性質(zhì)和等腰三角形的判定結(jié)合求解.考查了學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力,(2)找出輔助線構(gòu)建全等三角形是解題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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14.光明中學(xué)學(xué)生步行到距學(xué)校10km的風(fēng)景區(qū)旅游,學(xué)生隊(duì)伍的速度是4km/h,學(xué)生隊(duì)伍出發(fā)1h后,通訊員發(fā)現(xiàn)學(xué)生忘了帶做游戲用的道具,通訊員騎自行車以12km/h的速度追趕學(xué)生隊(duì)伍.通訊員追上學(xué)生隊(duì)伍用了多長(zhǎng)時(shí)間?追上學(xué)生隊(duì)伍時(shí),距離風(fēng)景區(qū)還有多遠(yuǎn)?

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(2)一鮮花店采購(gòu)玫瑰1000株~1500株,百合若干株,恰好花去了9000元.
①設(shè)采購(gòu)玫瑰x株,當(dāng)所購(gòu)的玫瑰數(shù)量小于1200株時(shí),則購(gòu)百合$\frac{9000-4x}{5}$株; 當(dāng)所購(gòu)的玫瑰數(shù)量大于1200株時(shí),則購(gòu)百合$\frac{9000-3x}{5}$株(用x的代數(shù)式表示);
②如果該花店以玫瑰5元、百合6.5元的價(jià)格賣出,問:此鮮花店應(yīng)如何采購(gòu)這兩種鮮花才能使獲得的毛利潤(rùn)最大?
(注:1000株~1500株,表示大于或等于1000株,且小于或等于1500株;
毛利潤(rùn)=鮮花店賣出百合和玫瑰所獲的總金額-購(gòu)進(jìn)百合和玫瑰的所需的總金額)

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