如圖,點E在正方形ABCD的邊AB上,AE=1,BE=2.點F在邊BC的延長線上,且CF=BC;P是邊BC上的動點(與點B不重合),PQ⊥EF,垂足為O,并交邊AD于點Q;QH⊥BC,垂足為H.
(1)求證:△QPH∽△FEB;
(2)設BP=x,EQ=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出它的定義域;
(3)試探索△PEQ是否可能成為等腰三角形?如果可能,請求出x的值;如果不可能,請說明理由.

證明:(1)∵PQ⊥EF,
∴∠F=90°-∠QPH,
∵QH⊥BC,
∴∠PQH=90°-∠QPH,
∴∠F=∠PQH,
∵在正方形ABCD中,∠B=90°,
∴∠QHP=∠B=90°,
∴△QPH∽△FEB.

(2)解:∵△QPH∽△FEB,
,
又∵QH=AB=BC=CF,
∴PH=EB=1,
∴AQ=BH=BP+PH=x+1,
在Rt△AEQ中,y=EQ==,
∴函數(shù)解析式為,其定義域為0<x≤2.

(3)解:△PEQ可能成為等腰三角形,
∵PH=1,HQ=AB=3,
∴PQ=,
∵BE=2,BP=x,
∴EP=,
(1)當x滿足=且0<x≤2時,EP=EQ,解得x=1;
(2)當x滿足=且0<x≤2時,EQ=PQ,解得x=2;
(3)當x滿足=且0<x≤2時,EP=PQ.
解方程得,
,不合題意,舍去,
綜上所述,當x=1或x=2時,△PEQ能成為等腰三角形.
分析:(1)欲證△QPH∽△FEB,通過相似三角形的判斷證明∠F=∠PQH,∠QHP=∠B=90°即可;
(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,可以轉(zhuǎn)化到Rt△AEQ中,求出BP與AQ的關(guān)系,根據(jù)勾股定理得出;
(3)探索△PEQ是否可能成為等腰三角形,根據(jù)等腰三角形的判定分別列出函數(shù)關(guān)系式,求出x的值.
點評:解答本題要充分利用正方形的特殊性質(zhì),相似三角形的判定,等腰三角形的判定,勾股定理與函數(shù)的結(jié)合運用.
練習冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖,點E在正方形ABCD的邊BC的延長線上,如果BE=BD,那么∠E=
 
°.

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(2)設BP=x,EQ=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出它的定義域;
(3)試探索△PEQ是否可能成為等腰三角形?如果可能,請求出x的值;如果不可能,請說明理由.

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A、
3
B、
5
C、3
D、5

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(1)求證:△DCF≌△ADG.
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