Question

【題目】如圖，如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，4）.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)M是拋物線在x軸下方的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN∥y軸交直線BC于點(diǎn)N求線段MN的最大值；（3）在（2）的條件下，當(dāng)MN取得最大值時(shí)，在拋物線的對稱軸l上是否存在點(diǎn)P使△PBN是等腰三角形？若存在，請直接寫出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）y=x2-5x+4；（2）點(diǎn)p的坐標(biāo)為(,)、(,),(-)、(，2+),或(，2-)．

【解析】試題分析：

（1）把點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入列出方程組，解方程組求得的值即可得到二次函數(shù)的解析式；

（2）由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)可求出直線BC的解析式，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，由此可用含m的代數(shù)式表示出點(diǎn)M、N的縱坐標(biāo)，從而可用含m的式子表達(dá)出MN的長度，由點(diǎn)M在軸下方可求得m的取值范圍為： ，由此即可求出線段MN的最大值；

（3）由題意結(jié)合（2）可得點(diǎn)N的坐標(biāo)，由點(diǎn)P在拋物線對稱軸上，可設(shè)其坐標(biāo)為(2.5，n)，結(jié)合點(diǎn)B和點(diǎn)N的坐標(biāo)即可表達(dá)出PB、PN、BN的長度，再分PB=PN、PB=BN、PN=BN三種情況討論計(jì)算即可求得符合題意的點(diǎn)P的坐標(biāo).

試題解析：

（1）將點(diǎn)B（4，0）、C（0，4）代入拋物線y=x2+bx+c中，

得，得，

∴拋物線的解析式為y=x2-5x+4.

（2）由題意可設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，m2-5m+4），設(shè)直線BC的解析式為y=kx+4，

把點(diǎn)（4，0）代入y=kx+4，中，

得：0=4k+4，解得：k=-1，

∴直線BC的解析式為y=-x+4.

∵M(jìn)N∥y軸，

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，-m+4），

∴MN==-m+4-(m2-5m+4)=-（m-2）2+4.

∵拋物線的解析式為：y=x2-5x+4=（x-2.5）2，

∴拋物線的對稱軸為x=2.5，

∴由點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0）可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），

又∵點(diǎn)M在x軸下方，

∴1<m<4.

∴當(dāng)m=2時(shí)，MN最大=4.

（3）由（2）可得：當(dāng)m=2時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，2），

∵點(diǎn)P在拋物線的對稱軸上，

∴可設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（2.5，n）,

∴PB=，PN== ,

BN==2 ,

若為等腰三角形，則存在以下三種情況：

①當(dāng)時(shí)，即

解得： ，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為(， )；

②當(dāng)時(shí)，即 =2 ，解得： ，

此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為(， )或(， )；

③當(dāng)時(shí)，即 =2 ，解得： ，

此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為(,2+)或(,2)．

綜上可知：在拋物線的對稱軸上存在點(diǎn)，使是等腰三角形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,)、(,),(-)、(，2+),或(，2-)．