Question

【題目】如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線交x軸于A、B兩點(diǎn)在B的左邊，交y軸于C，直線經(jīng)過B、C兩點(diǎn)．

求拋物線的解析式；

為直線BC下方的拋物線上一點(diǎn)，軸交BC于D點(diǎn)，過D作于E點(diǎn)設(shè)，求m的最大值及此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)；

探究是否存在第一象限的拋物線上一點(diǎn)M，以及y軸正半軸上一點(diǎn)N，使得，且若存在，求出M、N兩點(diǎn)坐標(biāo)；否則，說明理由．

Answer 1

【答案】； m的最大值為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為；存在滿足條件的M、N兩點(diǎn)，坐標(biāo)分別為、

【解析】

利用直線經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，先求出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
根據(jù)表達(dá)式，設(shè)出D點(diǎn)坐標(biāo)，用含a的代數(shù)式分別表達(dá)出線段PD、DE，轉(zhuǎn)化成m關(guān)于a的二次函數(shù)，再求m的最大值及P點(diǎn)坐標(biāo)；
根據(jù)條件，且，利用三角形的全等去確定滿足條件的M、N點(diǎn)，再根據(jù)函數(shù)解析式去它們的坐標(biāo)．

直線經(jīng)過坐標(biāo)軸上B、C兩點(diǎn)，

，

而B、C兩點(diǎn)在拋物線上，于是有

解得，

故拋物線的解析式為．

連接AD，并延長(zhǎng)PD交x軸于H點(diǎn)如圖，設(shè)H點(diǎn)坐標(biāo)為，則D點(diǎn)坐標(biāo)為，P點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，

由，當(dāng)時(shí)，解得或4，于是可知，且

，

由于

于是有

即：

得

即：當(dāng)時(shí)，m的最大值為

此時(shí)可代入得

故m的最大值為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為

過N點(diǎn)分別作交CA延長(zhǎng)線于E點(diǎn)，作于F點(diǎn)，如圖2

，

而在四邊形NECF中，,,,

又，且

≌,

平分

若設(shè)CM與X軸交點(diǎn)為G點(diǎn)，根據(jù)軸對(duì)稱，可知G點(diǎn)坐標(biāo)為

由、兩點(diǎn)可得：

而點(diǎn)M是直線CM與拋物線的交點(diǎn)，于是有

解得，或，

由此可知點(diǎn)M的坐標(biāo)為

設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)

解得，所以N點(diǎn)坐標(biāo)為

故存在滿足條件的M、N兩點(diǎn)，坐標(biāo)分別為、