Question

【題目】如圖，AB 是⊙O 的弦，半徑OE⊥ AB ，P 為 AB 的延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，PC 與⊙O相切于點(diǎn) C，連結(jié) CE，交 AB 于點(diǎn) F，連結(jié) OC．

（1）求證：PC=PF.

（2）連接 BE，若∠CEB=30°，半徑為 8，tan P ，求 FB 的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）FB=4-2.

【解析】

（1）證明∠PFC=∠PCF，即可得出PF=PC；

（2）連結(jié)BC，OB，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥CP于點(diǎn)G，可得△OBC為等邊三角形，即BC=8，∠BCP=30°．在Rt△CBG中，求得BG=4，CG=4，根據(jù)，可得PG=3，PB=5，PF=PC=3+4，進(jìn)而可求得FB的長(zhǎng)．

（1）∵OE=OC，∴∠OEC=∠OCE．

∵PC切⊙O于點(diǎn)C，∴∠PCE+∠OCE=90°．

∵OE⊥AB，∴∠OEC+∠EFA=90°．

∵∠EFA=∠CFP，∴∠PFC=∠PCF，∴PF=PC．

（2）連結(jié)BC，OB，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥CP于點(diǎn)G．

∵∠CEB=30°，∴∠BOC=60°．

∵OB=OC，圓的半徑為8，∴△OBC為等邊三角形，∴BC=8，∠BCP=30°，∴BG=4，CG=4．

∵，∴PG=3，PB=5，PF=PC=3+4，∴FB=PF－BP=42．