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【題目】如圖,在矩形ABCD中,點F在邊BC上,且AF=AD,過點D作DE⊥AF,垂足為點E.

(1)求證:DE=AB.

(2)以D為圓心,DE為半徑作圓弧交AD于點G.若BF=FC=1,試求的長.

【答案】(1)證明見解析(2)

【解析】

試題分析:(1)由矩形的性質得出∠B=∠C=90°,AB=BC=AD=DC,AD∥BC,得出∠EAD=∠AFB,由AAS證明△ADE≌△FAB,得出對應邊相等即可;

(2)連接DF,先證明△DCF≌△ABF,得出DF=AF,再證明△ADF是等邊三角形,得出∠DAE=60°,∠ADE=30°,由AE=BF=1,根據三角函數得出DE,由弧長公式即可求出(1)由矩形的性質得出∠B=∠C=90°,AB=BC=AD=DC,AD∥BC,得出∠EAD=∠AFB,由AAS證明△ADE≌△FAB,得出對應邊相等即可;

(2)連接DF,先證明△DCF≌△ABF,得出DF=AF,再證明△ADF是等邊三角形,得出∠DAE=60°,∠ADE=30°,由AE=BF=1,根據三角函數得出DE,由弧長公式即可求出的長.

試題解析:(1)∵四邊形ABCD是矩形,

∴∠B=∠C=90°,AB=BC=AD=DC,AD∥BC,

∴∠EAD=∠AFB,

∵DE⊥AF,

∴∠AED=90°,

在△ADE和△FAB中,,

∴△ADE≌△FAB(AAS),

∴DE=AB;

(2)連接DF,如圖所示:

在△DCF和△ABF中,,

∴△DCF≌△ABF(SAS),

∴DF=AF,

∵AF=AD,

∴DF=AF=AD,

∴△ADF是等邊三角形,

∴∠DAE=60°,

∵DE⊥AF,

∴∠AED=90°,

∴∠ADE=30°,

∵△ADE≌△FAB,

∴AE=BF=1,

∴DE=AE=,

的長==

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