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【題目】如圖,在以A、B、C、D、E為頂點的五面體中,AD⊥平面ABC,AD∥BE,AC⊥CB,AB=2BE=4AD=4.
(1)O為AB的中點,F(xiàn)是線段BE上的一點,BE=4BF,證明:OF∥平面CDE;
(2)當直線DE與平面CBE所成角的正切值為 時,求平面CDE與平面ABC所成銳二面角的余弦值.

【答案】
(1)證明:如圖1,取BE中點G.連接AG,

∵AD∥BE,AB=2BE=4AD=4.∴AD+EG,AD∥EG

∴四邊形ADEG為平行四邊形,即AG∥ED,

又∵O為AB的中點,F(xiàn)是線段BE上的一點,BE=4BF,

∴F為BG中點,OF∥AG,OF∥DE

∵OF面CDE,DE面CDE,∴OF∥平面CDE


(2)如圖2,由(1)得AG∥DE,∴直線DE與平面CBE所成角等于直線AG與平面CBE所成角..

∵AD⊥平面ABC,AD∥BE,AC⊥CB,∴ AC⊥面BCE.

連接CG,∴∠AGC就是直線AG與平面CBE所成角,∴tan∠AGC= ,可得sin

又∵AG= ,∴AC=2 ,

在直角△ABC中,∵AB=4,∴BC=2 ,

連接OC,可得OC⊥AB,故以O為原點,射線OC,OB分別為x,y軸,建立空間直角坐標系,

則C(2,0,0),A(0,﹣2,0),D(0,﹣2,1),B(0,2,0),E(0,2,2).

設面CDE的法向量為 ,

,可得 ,

可知平面ABC的法向量為

∴cos< >=

平面CDE與平面ABC所成銳二面角的余弦值為


【解析】(1)如圖1,取BE中點G.連接AG,只需AG∥ED∥OF即可得到OF∥平面CDE(2)由(Ⅰ)得AG∥DE,∴直線DE與平面CBE所成角等于直線AG與平面CBE所成角. 易得AC⊥面BCE.連接CG,∴∠AGC就是直線AG與平面CBE所成角,∴tan∠AGC= ,可得 AC=2 ,BC=2 ,
連接OC,可得OC⊥AB,故以O為原點,射線OC,OB分別為x,y軸,建立空間直角坐標系,利用向量法求解即可.
【考點精析】利用直線與平面平行的判定對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知平面外一條直線與此平面內的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行.

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分組

頻數

頻率

[10,15)

10

0.25

[15,20)

25

n

[20,25)

m

p

[25,30)

2

0.05

合計

M

1


(1)求出表中M、p及圖中a的值;
(2)試估計他們參加社區(qū)服務的平均次數;
(3)在所取樣本中,從參加社區(qū)服務的次數不少于20次的學生中任選2人,求至少1人參加社區(qū)服務次數在區(qū)間[20,25)內的概率.

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A.
B.
C.
D.

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B.﹣2
C.﹣
D.

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(1)求今年6月份A型車每輛銷售價多少元(用列方程的方法解答);
(2)該車行計劃7月份新進一批A型車和B型車共50輛,且B型車的進貨數量不超過A型車數量的兩倍,應如何進貨才能使這批車獲利最多?
A、B兩種型號車的進貨和銷售價格如表:

A型車

B型車

進貨價格(元/輛)

1100

1400

銷售價格(元/輛)

今年的銷售價格

2400

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技術

上場時間(分鐘)

出手投籃(次)

投中
(次)

罰球得分

籃板
(個)

助攻(次)

個人總得分

數據

46

66

22

10

11

8

60

注:表中出手投籃次數和投中次數均不包括罰球.
根據以上信息,求本場比賽中該運動員投中2分球和3分球各幾個.

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圖形名稱

基本圖形的個數

菱形的個數

圖①

1

1

圖②

2

3

圖③

3

7

圖④

4

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