Question

【題目】如圖1，矩形ABCD中，AB=8，AD=6；點E是對角線BD上一動點，連接CE，作EF⊥CE交AB邊于點F，以CE和EF為鄰邊作矩形CEFG，作其對角線相交于點H．

（1）①如圖2，當點F與點B重合時，CE=　　，CG=　　；

②如圖3，當點E是BD中點時，CE=　　，CG=　　；

（2）在圖1，連接BG，當矩形CEFG隨著點E的運動而變化時，猜想△EBG的形狀？并加以證明；

（3）在圖1，的值是否會發(fā)生改變？若不變，求出它的值；若改變，說明理由；

（4）在圖1，設(shè)DE的長為x，矩形CEFG的面積為S，試求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）， ，5， ；（2）△EBG是直角三角形，理由詳見解析；（3） ；（4）S=x2﹣x+48（0≤x≤）．

【解析】

（1）①利用面積法求出CE，再利用勾股定理求出EF即可；②利用直角三角形斜邊中線定理求出CE，再利用相似三角形的性質(zhì)求出EF即可；

（2）根據(jù)直角三角形的判定方法：如果一個三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，則這個三角形是直角三角形即可判斷；

（3）只要證明△DCE∽△BCG，即可解決問題；

（4）利用相似多邊形的性質(zhì)構(gòu)建函數(shù)關(guān)系式即可；

（1）①如圖2中，

在Rt△BAD中，BD==10，

∵S△BCD=CDBC=BDCE，

∴CE=．CG=BE=．

②如圖3中，過點E作MN⊥AM交AB于N，交CD于M．

∵DE=BE，

∴CE=BD=5，

∵△CME∽△ENF，

∴，

∴CG=EF=，

（2）結(jié)論：△EBG是直角三角形．

理由：如圖1中，連接BH．

在Rt△BCF中，∵FH=CH，

∴BH=FH=CH，

∵四邊形EFGC是矩形，

∴EH=HG=HF=HC，

∴BH=EH=HG，

∴△EBG是直角三角形．

（3）F如圖1中，∵HE=HC=HG=HB=HF，

∴C、E、F、B、G五點共圓，

∵EF=CG，

∴∠CBG=∠EBF，

∵CD∥AB，

∴∠EBF=∠CDE，

∴∠CBG=∠CDE，

∵∠DCB=∠ECG=90°，

∴∠DCE=∠BCG，

∴△DCE∽△BCG，

∴．

（4）由（3）可知：

，

∴矩形CEFG∽矩形ABCD，

∴，

∵CE2=（-x）2+）2，S矩形ABCD=48，

∴S矩形CEFG= [（-x）2+（）2].

∴矩形CEFG的面積S=x2-x+48（0≤x≤）．