【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是中線,AC=BC,一個以點D為頂點的45°角繞點D旋轉,使角的兩邊分別與AC、BC的延長線相交,交點分別為點E,F,DF與AC交于點M,DE與BC交于點N.
(1)如圖1,若CE=CF,求證:DE=DF;
(2)如圖2,在∠EDF繞點D旋轉的過程中:
①探究三條線段AB,CE,CF之間的數(shù)量關系,并說明理由;
②若CE=4,CF=2,求DN的長.
【答案】(1)證明見解析;(2)①AB2=4CECF;②.
【解析】試題(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠BCD=∠ACD=45°,∠BCE=∠ACF=90°,于是得到∠DCE=∠DCF=135°,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可的結論;
(2)①證得△CDF∽△CED,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到,即CD2=CECF,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到CD=AB,于是得到AB2=4CECF;②如圖,過D作DG⊥BC于G,于是得到∠DGN=∠ECN=90°,CG=DG,當CE=4,CF=2時,求得CD=,推出△CEN∽△GDN,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到=2,根據(jù)勾股定理即可得到結論.
試題解析:(1)證明:∵∠ACB=90°,AC=BC,AD=BD,∴∠BCD=∠ACD=45°,∠BCE=∠ACF=90°,∴∠DCE=∠DCF=135°,在△DCE與△DCF中,∵CE=CF,∠DCE=∠DCF,CD=CD,∴△DCE≌△DCF,∴DE=DF;
(2)解:①∵∠DCF=∠DCE=135°,∴∠CDF+∠F=180°﹣135°=45°,∵∠CDF+∠CDE=45°,∴∠F=∠CDE,∴△CDF∽△CED,∴,即CD2=CECF,∵∠ACB=90°,AC=BC,AD=BD,∴CD=AB,∴AB2=4CECF;
②如圖,過D作DG⊥BC于G,則∠DGN=∠ECN=90°,CG=DG,當CE=4,CF=2時,由CD2=CECF得CD=,∴在Rt△DCG中,CG=DG=CDsin∠DCG=×sin45°=2,∵∠ECN=∠DGN,∠ENC=∠DNG,∴△CEN∽△GDN,∴=2,∴GN=CG=,∴DN===.
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【題目】小明在解決問題:已知a=,求2a2-8a+1的值,他是這樣分析與解答的:
因為a===2-,
所以a-2=-.
所以(a-2)2=3,即a2-4a+4=3.
所以a2-4a=-1.
所以2a2-8a+1=2(a2-4a)+1=2×(-1)+1=-1.
請你根據(jù)小明的分析過程,解決如下問題:
(1)計算: = - .
(2)計算:+…+;
(3)若a=,求4a2-8a+1的值.
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【題目】如圖,已知等邊三角形ABC,點D為線段BC上一點,以線段DB為邊向右側作△DEB,使DE=CD,若∠ADB=m°,∠BDE=(180﹣2m)°,則∠DBE的度數(shù)是( 。
A.(m﹣60)°B.(180﹣2m)°C.(2m﹣90)°D.(120﹣m)°
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【題目】如圖,在△ABC中,分別以點A和點B為圓心,大于AB的長為半徑畫弧,兩弧相交于點M,N,作直線MN,交BC于點D,連接AD.若△ADC的周長為10,AB=7,則△ABC的周長為 .
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【題目】如圖(1),AB=7cm,AC⊥AB,BD⊥AB 垂足分別為 A、B,AC=5cm.點P 在線段 AB 上以 2cm/s 的速度由點 A 向點B 運動,同時,點 Q 在射線 BD 上運動.它們運 動的時間為 t(s)(當點 P 運動結束時,點 Q 運動隨之結束).
(1)若點 Q 的運動速度與點 P 的運動速度相等,當 t=1 時,△ACP 與△BPQ 是否全等, 并判斷此時線段 PC 和線段 PQ 的位置關系,請分別說明理由;
(2)如圖(2),若“AC⊥AB,BD⊥AB” 改為 “∠CAB=∠DBA=60°”,點 Q 的運動速 度為 x cm/s,其他條件不變,當點 P、Q 運動到某處時,有△ACP 與△BPQ 全等,求出相應的 x、t 的值.
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【題目】已知拋物線y=x2,以D(﹣2,1)為直角頂點作該拋物線的內(nèi)接Rt△ADB(即A.D.B均在拋物線上).直線AB必經(jīng)過一定點,則該定點坐標為_____.
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【題目】如圖,在△ABC中,D是BC邊上的一點,AB=DB,BE平分∠ABC,交AC邊于點E,連接DE.
(1)求證:AE=DE;
(2)若∠A=100°,∠C=50°,求∠AEB的度數(shù).
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【題目】如圖1,△ABC中,CD為△ABC的中線,點E在CD上,且∠AED=∠BCD.
(1)求證:AE=BC.
(2)如圖2,連接BE,若AB=AC=2DE,∠CBE=14°,則∠ACD的度數(shù)為 (直接寫出結果),
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【題目】如圖:已知AE∥BF,AE=BF,A、C、D、B在同一直線上,要使△ADE≌△BCF,可添加的一個條件可以是____________________.(寫一個即可).
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