Question

如圖，拋物線y=mx²-2mx-3m（m＞0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)．
（1）請(qǐng)求拋物線頂點(diǎn)M的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）及A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)m取不同值時(shí)，試猜想△BCM與△ABC的面積比是否發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，請(qǐng)你求出這個(gè)比；若發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,三角形的面積

專題：計(jì)算題

分析：（1）利用配方法得到y(tǒng)=m（x-1）²-4m，頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，-4m），再根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)問題求得A（-1，0），B（3，0）；
（2）先確定C（0，-3m），根據(jù)三角形面積公式可計(jì)算出S_△ABC=6m，作MD⊥x軸于D，如圖，利用∴S_△BCM=S_梯形OCMD+S_△BDM-S_△BCO可計(jì)算出△BCM的面積，然后計(jì)算它們的比值即可判斷是否發(fā)生變化．

解答：解：（1）∵y=mx²-2mx-3m=m（x-1）²-4m，
∴拋物線頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，-4m），
∵mx²-2mx-3m=0的解為x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0）；
（2）△BCM與△ABC的面積比不發(fā)生變化．理由如下：
∵當(dāng)x=0時(shí)，y=mx²-2mx-3m=-3m，
∴C（0，-3m），
∴S_△ABC=

1

2

•（3+1）•3m=6m，
作MD⊥x軸于D，如圖，則OD=1，BD=2，MD=4m，
∴S_△BCM=S_梯形OCMD+S_△BDM-S_△BCO
=

1

2

•（3m+4m）•1+

1

2

•2•4m-

1

2

•3•3m
=3m，
∴S_△BCM：S_△ABC=3m：6m=1：2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來求解．