Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60 cm，∠A＝60°，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以4 cm/秒的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以2 cm/秒的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)D，E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒(0<t≤15)．過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，連接DE，EF。

(1)求證：AE＝DF；

(2)四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能，請說明理由；

(3)當(dāng)t為何值時(shí)，△DEF為直角三角形？請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) 能，理由見解析；(3)見解析．

【解析】分析：（1）利用t表示出CD以及AE的長，然后在直角△CDF中，利用直角三角形的性質(zhì)求得DF的長，即可證明；

（2）易證四邊形AEFD是平行四邊形，當(dāng)AD=AE時(shí)，四邊形AEFD是菱形，據(jù)此即可列方程求得t的值；

（3）分兩種情況討論即可求解．

詳解：（1）∵直角△ABC中，∠C=90°﹣∠A=30°．

∵CD=4t，AE=2t．

又∵在直角△CDF中，∠C=30°，∴DF=CD=2t，∴DF=AE；

（2）∵DF∥AB，DF=AE，∴四邊形AEFD是平行四邊形，當(dāng)AD=AE時(shí)，四邊形AEFD是菱形，即60﹣4t=2t，解得：t=10，即當(dāng)t=10時(shí)，AEFD是菱形；

（3）分兩種情況討論：

①當(dāng)∠EDF=90°時(shí)，DE∥BC，∴∠ADE=∠C=30°，∴AD=2AE．

∵CD=4t，∴DF=2t=AE，∴AD=4t，∴4t+4t=60，∴t=時(shí)，∠EDF=90°．

②當(dāng)∠DEF=90°時(shí)，DE⊥EF．

∵四邊形AEFD是平行四邊形，∴AD∥EF，∴DE⊥AD，∴△ADE是直角三角形，∠ADE=90°．

∵∠A=60°，∴∠DEA=30°，∴AD=AE，AD=AC﹣CD=60﹣4t，AE=DF=CD=2t，∴60﹣4t=t，解得t=12．

綜上所述：當(dāng)t=或t=12時(shí)，△DEF是直角三角形．