【題目】操作發(fā)現(xiàn):如圖1D是等邊△ABCBA上的一動點(D與點B不重合),連接DC,以DC為邊在BC上方作等邊△DCF,連接AF,易證AF=BD(不需要證明);

類比猜想:①如圖2,當動點D運動至等邊△ABCBA的延長線上時,其它作法與圖1相同,猜想AFBD在圖1中的結(jié)論是否仍然成立。

深入探究:②如圖3,當動點D在等邊△ABCBA上的一動點(D與點B不重合),連接DC,以DC為邊在BC上方、下方分別作等邊△DCF和等邊△DCF′,連接AF,BF′你能發(fā)現(xiàn)AFBF′AB有何數(shù)量關(guān)系,并證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論。

③如圖4,當動點D運動至等邊△ABCBA的延長線上時,其它作法與圖3相同,猜想AF,BF′AB在上題②中的結(jié)論是否仍然成立,若不成立,請給出你的結(jié)論并證明。

【答案】①成立,證明見詳解;②AF+BF′=AB,證明見詳解;③不成立,AF=AB+BF′,證明見詳解.

【解析】

類比猜想:①通過證明△BCD≌△ACF,即可證明AF=BD;

深入探究:②AF+BF′=AB,利用全等三角形△BCD≌△ACFSAS)的對應(yīng)邊BD=AF;同理△BCF′≌△ACDSAS),則BF′=AD,所以AF+BF′=AB;

③結(jié)論不成立.新的結(jié)論是AF=AB+BF′;通過證明△BCF′≌△ACDSAS),則BF′=AD(全等三角形的對應(yīng)邊相等);再結(jié)合(2)中的結(jié)論即可證得AF=AB+BF′

解:類比猜想:①如圖2中,

∵△ABC是等邊三角形(已知),
BC=AC,∠BCA=60°(等邊三角形的性質(zhì));
同理知,DC=CF,∠DCF=60°;
∴∠BCA+DCA=DCF+DCA,即∠BCD=ACF
在△BCD和△ACF中,

∴△BCD≌△ACFSAS),
BD=AF(全等三角形的對應(yīng)邊相等);

深入探究:②如圖示

AF+BF′=AB;
證明如下:由①條件可知:∠BCA-DCA=DCF-DCA,即∠BCD=ACF

∴同理可證△BCD≌△ACFSAS),則BD=AF;
同理△BCF′≌△ACDSAS),則BF′=AD,
AF+BF′=BD+AD=AB

③結(jié)論不成立.新的結(jié)論是AF=AB+BF′;

如圖示:


證明如下:

∵等邊DCF和等邊DCF′,由①同理可知:

在△BCF′和△ACD中,

∴△BCF′≌△ACDSAS),
BF′=AD(全等三角形的對應(yīng)邊相等);
又由②知,AF=BD;
AF=BD=AB+AD=AB+BF′,即AF=AB+BF′

練習(xí)冊系列答案
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(2)若a>0,b<0,則<0;若a<0,b>0,則<0.

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