【題目】如圖,二次函數(shù) 的圖像與 軸交于 、 兩點,與 軸交于點 , .點 在函數(shù)圖像上, 軸,且 ,直線 是拋物線的對稱軸, 是拋物線的頂點.
圖 ① 圖②
(1)求 、 的值;
(2)如圖①,連接 ,線段 上的點 關(guān)于直線 的對稱點 恰好在線段 上,求點 的坐標;
(3)如圖②,動點 在線段 上,過點 作 軸的垂線分別與 交于點 ,與拋物線交于點 .試問:拋物線上是否存在點 ,使得 與 的面積相等,且線段 的長度最小?如果存在,求出點 的坐標;如果不存在,說明理由.
【答案】
(1)
解:∵CD⊥x軸,CD=2,
∴拋物線對稱軸為直線l:x=1,
∴=1,則b=-2。
∵OB=OC,C(0,c),
∴B點的坐標為(-c,0),
∴0=c2+2c+c,解得c=-3或c=0(舍去),
∴c=-3,
(2)
解:由(1)可得拋物線解析式為y=x2-2x-3,則E(1,-4)
設(shè)點F的坐標為(0,m),
∵對稱軸為直線l:x=1,
∴點F關(guān)于直線l的對稱點F的坐標為(2,m)。
∵直線BE經(jīng)過點B(3,0),E(1,-4),
∴利用待定系數(shù)法可得直線BE的表達式y(tǒng)=2x-6,
∵點F在BE上,
∴m=2×2-6=-2,
即點F的坐標為(0,-2)。
(3)
解:存在點Q滿足題意。設(shè)點P坐標為(n,0),則PA=n+1,PB=PM=3-n,PN=-n2+2n+3,
作QR⊥PN,垂足為R,
∵S△PQN=S△APM,
∴(n+1)(3-n)=(-n2+2n+3)QR,
∴QR=1。
①點Q在直線PN的左側(cè)時,Q點的坐標為(n-1,n2-4n),R點的坐標為(n,n2-4n),N點的坐標為(n,n2-2n-3),
∴在Rt△QRN中,NQ2=1+(2n-3)2,
∴n=時,NQ取最小值1,此時Q點的坐標為(,)
②點Q在直線PN的右側(cè)時,Q點的坐標為(n+1,n2-4).
同理NQ2=1+(2n-1)2,
∴n=時,NQ取最小值1,此時Q點的坐標為(,).
綜上所述,滿足題意的點Q的坐標為(,)和(,)
【解析】(1)因為CD⊥x軸,所以C與D的縱坐標相等,即C與D關(guān)于拋物線的對稱軸對稱,則可得對稱軸是直線l:x=1,從而由x=-代入a的值,求出b;又由OB=OC,可得B(-c,0),代入二次函數(shù)解析式,求出c的值即可;
(2)設(shè)點F的坐標為(0,m)關(guān)于直線x=1的對稱點為(2,m),則求出BE的解析式,將(2,m)代入解出m的值即可;
(3)可設(shè)P(n,0),用n可表示出PA=n+1,PB=PM=3-n,PN=-n2+2n+3,作QR⊥PN,垂足為R,由S△PQN=S△APM , 可列出方程求出QR=1;
分類討論點Q在直線PN的左側(cè)和Q在直線PN的右側(cè)時,在Rt△QRN中,由勾股定理可得NQ2=QR2+NR2,求出當n為多少時,NQ為最小值,寫出相對應(yīng)的Q的坐標。
【考點精析】掌握二次函數(shù)的圖象和三角形的面積是解答本題的根本,需要知道二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點:1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點;三角形的面積=1/2×底×高.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,正方形A1B1C1D1、D1 E1E2B2、A2B2 C2D2、D2E3E4B3…按如圖所示的方式放置,其中點B1在y軸上,點C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x軸上,已知正方形A1B1C1D1的邊長為l,∠B1C1O=60°,B1C1∥B2C2∥B3C3…,則正方形A2017B2017C2017 D2017的邊長是( )
A.( )2016
B.( )2017
C.( )2016
D.( )2017
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】圖1是用繩索織成的一片網(wǎng)的一部分,小明探索這片網(wǎng)的結(jié)點數(shù)(V),網(wǎng)眼數(shù)(F),邊數(shù)(E)之間的關(guān)系,他采用由特殊到一般的方法進行探索,列表如下:
特殊網(wǎng)圖 | ||||
結(jié)點數(shù)(V) | 4 | 6 | 9 | 12 |
網(wǎng)眼數(shù)(F) | 1 | 2 | 4 | 6 |
邊數(shù)(E) | 4 | 7 | 12 | ☆ |
表中“☆”處應(yīng)填的數(shù)字為_____;根據(jù)上述探索過程,可以猜想V,F,E之間滿足的等量關(guān)系為_____;
如圖2,若網(wǎng)眼形狀為六邊形,則V,F,E之間滿足的等量關(guān)系為___ .
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在菱形 中, , , 是 的中點.過點 作 ,垂足為 .將 沿點 到點 的方向平移,得到 .設(shè) 、 分別是 、 的中點,當點 與點 重合時,四邊形 的面積為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在 中, , 軸,垂足為 .反比例函數(shù) ( )的圖像經(jīng)過點 ,交 于點 .已知 , .
(1)若 ,求 的值;
(2)連接 ,若 ,求 的長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(2015桂林)“全民閱讀”深入人心,好讀書,讀好書,讓人終身受益.為滿足同學們的讀書需求,學校圖書館準備到新華書店采購文學名著和動漫書兩類圖書.經(jīng)了解,20本文學名著和40本動漫書共需1520元,20本文學名著比20本動漫書多440元(注:所采購的文學名著價格都一樣,所采購的動漫書價格都一樣).
(1)求每本文學名著和動漫書各多少元?
(2)若學校要求購買動漫書比文學名著多20本,動漫書和文學名著總數(shù)不低于72本,總費用不超過2000元,請求出所有符合條件的購書方案.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,等腰中,=90°,于,的平分線分別交、于、兩點,為的中點,延長交于點,連接.下列結(jié)論:① ;② ;③ ;④;上述結(jié)論中正確的個數(shù)是( )
A. 4個 B. 3個 C. 2個 D. 1個
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(1)先化簡,再求值: 2(m2 mn 1) 3(m2 2mn 4) ,其中 m ,n 3 .
(2)已知 2a b 5 0 ,求整式 6a b 與 2a 3b 27 的和的值.
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