【題目】如圖,點P為拋物線Lyax2)(x4)(其中a為常數(shù),且a0)的頂點,Ly軸交于點C,過點Cx軸的平行線,與L交于點A,過點Ax軸的垂線,與射線OP交于點B,連接OA

1a=﹣2時,點P的坐標是   ,點B的坐標是   

2)是否存在a的值,使OAOB?若存在,求出a的值;若不存在,請說明理由

3)若△OAB的外心N的坐標為(pq),則

①當點N在△OAB內(nèi)部時,求a的取值范圍;

②用a表示外心N的橫坐標p和縱坐標q,并求pq的關系式(不寫q的取值范圍).

【答案】1)(3,2),(6,4);(2)不存在,見解析;(3)①﹣a0;②N橫坐標p a2+3N縱坐標q3a ;pq2+3

【解析】

1)按照題意逐步計算:先把a=﹣2代入拋物線求出頂點P及與y軸交點C的坐標,得到直線OP解析式.由ACx軸可知AC關于拋物線對稱軸對稱,進而求出點A.由ABx軸可得B的橫坐標與A相同,再代回直線OP即求得B的縱坐標.

2)按照(1)的解題思路,先用a表示點P、C,然后得到點A坐標,即得到點B橫坐標,再代回直線OP求得點B坐標.由于點ABx軸距離不相等,x軸不能垂直平分AB,故不存在a使OAOB

3)①銳角三角形的外心會落在三角形內(nèi)部,而∠OAB與∠OBA一定小于90°,則∠AOB<90°,可得OA2+OB2>AB2,把含a的式子代入即得到關于a的不等式,結(jié)合a<0得到a的取值范圍;

②外心N為△OAB三邊垂直平分線交點,由ABx軸即可得點N縱坐標q3a,由ONAN列得關于a、p的等式,整理即得到用a表示p.再把aq代入即得到p關于q的關系式.

解:(1)∵a=﹣2

∴拋物線Ly=﹣2x2)(x4)=﹣2x2+12x16=﹣2x32+2

∴頂點P32),C0,﹣16

∴直線OP解析式為:yx

ACx

yAyC=﹣16,A、C關于直線x3對稱

A6,﹣16

ABx

xBxA6

yB×64,即B6,4

故答案為:(3,2);(6,4).

2)不存在a的值使OAOB,理由如下:

∵拋物線Lyax2)(x4)=ax26ax+8aax32a

∴頂點P3,﹣a),C0,8a

∴直線OP解析式為:y=﹣x

A6,8a

yB=﹣×6=﹣2a

a0

|yA|yB,即x軸不平分AB

OAOB

3)①∵△OAB的外心N在其內(nèi)部

∴△OAB是銳角三角形

∴∠AOB<90°

OA2+OB2>AB2

A6,8a),B6,﹣2a

62+8a2+62+(﹣2a2>8a+2a2

解得:﹣<a<0

②∵外心NAB的垂直平分線上,ABx

q3a

Np,3a),a

ONAN,即ON2AN2

p2+3a2=(6p2+8a3a2

整理得:pa2+3

a代入得:pq2+3

練習冊系列答案
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【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,拋物線x軸交于A,B兩點,與y軸交于點D,過點A的直線交拋物線于另一點C,點E為拋物線的頂點,連接CE,AE,設AEy軸于點F,點A的坐標為,且,C、D兩點關于對稱軸對稱.

1)若,求拋物線的解析式;

2)在(1)的條件下,試探究拋物線上是否存在一點M,使為以AC為直角邊的直角三角形?若存在,求出所有符合條件的點M的坐標;若不存在,請說明理由;

3)設點P是直線AE上方拋物線上的一動點,若的面積最大值為,求a的值.

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【題目】某商場同時購進甲、乙兩種商品共100件,其進價和售價如下表:

商品名稱

進價(/)

40

90

售價(/)

60

120

設其中甲種商品購進x件,商場售完這100件商品的總利潤為y元.

()寫出y關于x的函數(shù)關系式;

()該商場計劃最多投入8000元用于購買這兩種商品,

①至少要購進多少件甲商品?

②若銷售完這些商品,則商場可獲得的最大利潤是多少元?

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【題目】對于長度為4的線段AB(圖1),小若用尺規(guī)進行如下操作(圖2)根據(jù)作圖痕跡,有下列說法:①△ABC是等腰三角形;②△ABC是直角三角形;③△ABC是等邊三角形;④弧AD的長度為,⑤△ABC是直角三角形的依據(jù)是直徑所對的圓周角為直角,則其中正確的個數(shù)是( 。

A.1B.2C.3D.4

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【題目】人們利用“公眾號”進行學習和獲取信息已成為了生活常態(tài),為了解某個學習類公眾號的推廣情況,小方同學調(diào)查統(tǒng)計了從周一到周五對該公眾號進行關注的“粉絲”人數(shù)的變化情況,并將結(jié)果繪制成如圖1和圖2所示的兩個不完整的統(tǒng)計圖

根據(jù)以上信息,完成下面的問題:

1)如圖2,周三進行關注的“粉絲”人數(shù)對應的扇形圓心角是   °;

2)將折線統(tǒng)計圖補充完整;

3)在原來基礎上,小方對該公眾號又統(tǒng)計了后續(xù)周六和周日關注的“粉絲”人數(shù)發(fā)現(xiàn)這7天平均每天關注的“粉絲”人數(shù)比前5天平均每天關注的“粉絲”人數(shù)多2人,則

①周六和周日這兩天關注了該公眾號的一共是   人;

②現(xiàn)從周六關注公眾號的前3位男士“粉絲”和周日關注公眾號的前2位女士“粉絲”中,隨機抽取兩位進行獎勵,請用列表法或者畫樹狀圖的方法,求所抽取的兩位“粉絲”恰好是一男一女的概率.

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【題目】如圖,在矩形AOBC中,O為坐標原點,OA、OB分別在x軸、y軸上,點B的坐標為(03),∠ABO=30°,將△ABC沿AB所在直線對折后,點C落在點D處,則點D的坐標為____________

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【題目】如圖,在正方形ABCD中,△BPC是等邊三角形,BP、CP的延長線分別交AD于點E、F,連接BD、DP,BD與CF相交于點H,給出下列結(jié)論:①BE=2AE;②△DFP∽△BPH;③△PFD∽△PDB;④DP2=PHPC

其中正確的是(  。

A. ①②③④ B. ②③ C. ①②④ D. ①③④

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1)寫出商場銷售這種文具,每天所得的銷售利潤(元)與銷售單價(元)之間的函數(shù)關系式;

2)求銷售單價為多少元時,該文具每天的銷售利潤最大;

3)商場的營銷部結(jié)合上述情況,提出了A、B兩種營銷方案

方案A:該文具的銷售單價高于進價且不超過30元;

方案B:每天銷售量不少于10件,且每件文具的利潤至少為25

請比較哪種方案的最大利潤更高,并說明理由

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【題目】如圖,在直角坐標系中,正方形OABC的頂點O與原點重合,頂點AC分別在x軸、y軸上,反比例函數(shù)的圖象與正方形的兩邊ABBC分別交于點M、NNDx軸,垂足為D,連接OM、ON、MN

下列結(jié)論:

①△OCN≌△OAM;

ON=MN;

③四邊形DAMNMON面積相等;

④若∠MON=45°,MN=2,則點C的坐標為

其中正確的個數(shù)是(

A.1B.2C.3D.4

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