Question

7．如圖，Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠B=55°，點(diǎn)D在邊BC上，BD=2CD．把線段BD 繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0＜α＜180）度后，如果點(diǎn)B恰好落在Rt△ABC的邊上，那么α=70°或120°．

Answer 1

分析 設(shè)旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′，當(dāng)B′在線段AB上時(shí)，連接B′D，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BD=B′D，利用等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可求得∠BDB′；當(dāng)點(diǎn)B′在線段AC上時(shí)，連接B′D，在Rt△B′CD中可求得∠CDB′，則可求得旋轉(zhuǎn)角，可求得答案．

解答 解：
設(shè)旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′，
①當(dāng)B′在線段AB上時(shí)，連接B′D，如圖1，

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得BD=B′D，
∴∠DB′B=∠B=55°，
∴α=∠BDB′=180°-55°-55°=70°；
②當(dāng)點(diǎn)B′在線段AC上時(shí)，連接B′D，如圖2，

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得BD=B′D，
∵BD=2CD，
∴B′D=2CD，
∴sin∠CB′D=$\frac{CD}{B′D}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠CB′D=30°，
∴∠BDB′=90°+30°=120°；
綜上可知旋轉(zhuǎn)角α為70°或120°，
故答案為：70°或120°．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)前后對(duì)應(yīng)線段相等是解題的關(guān)鍵．