Question

【題目】問題發(fā)現(xiàn)

（1）如圖1，和均為等邊三角形，點D在邊BC上，連接CE．求證：．

拓展探究

（2）如圖2，和均為等腰直角三角形，，點D在邊BC上，連接CE

ⅰ）求的度數(shù)；

ⅱ）請判斷線段AC、CD、CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

解決問題

（3）如圖3，在四邊形ABCD中，，，，AC與BD交于點E，求出線段AC的長度．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）i），ⅱ），理由見解析；（3）

【解析】

（1）根據(jù)SAS可證明△BAD≌△CAE，可得結(jié)論；
（2）i）先證明△ABD≌△ACE，得∠ACE=∠B=45°；

ⅱ）由△ABD≌△ACE，得BD=CE，利用等邊三角形的AC=BC=BD+DC等量代換可得結(jié)論；
（3）過點A作AC的垂線，交CB的延長線于點F，證明△ACF是等腰直角三角形，則利用（2）的結(jié)論求AC的長．

（1）∵和為等邊三角形，

∴，，，

∴，即，

∴，

∴；

（2）i）和均為等腰直角三角形，且，

∴，，

，即，

∴，

∴，

；

ⅱ）；

理由：由�。┑�，，

∵，

∴，

∵在等腰中，，

∴；

（3）如解圖，過點A作AC的垂線，交CB的延長線于點F，

∵，，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴A、B、C、D四點共圓，

∴，

∴是等腰直角三角形，

由（2）得，

∴．