Question

【題目】已知⊙O的直徑為10，點A、點B、點C在⊙O上，∠CAB的平分線交⊙O于點D．

（1）如圖①，若BC為⊙O的直徑，AB=6，求AC，BD的長；

（2）如圖②，若∠CAB=60°，CF⊥BD，①求證：CF是⊙O的切線；②求由弦CD、CB以及弧DB圍成圖形的面積．

Answer 1

【答案】⑴AC=8,BD=5；⑵①證明見解析；②.

【解析】試題分析：（1）要求AC的長，將AC放在Rt△ABC中，利用勾股定理可求得；要求BD的長，先證明△BCD為等腰直角三角形，再結合勾股定理可求出；（2）①連接OC，證明∠OCF=90°即可；②通過證明△CGD≌△OGB，可以得到S△CGD=S△OGB，由此將陰影部分面積轉化為扇形DOB的面積，利用扇形面積公式求出即可.

試題解析：

（1）∵BC為⊙O的直徑，

∴∠CAB=∠CDB=90°，

∵BC=10，AB=6，

∴AC==8，

∵AD平分∠CAB，

∴∠CAD=∠DAB=45°，

∴CD=BD，

∵CD2+BD2=BC2，

∴2BD2=100，

∴BD=5；

（2）

連接CO、OD、OB，

∵∠CAB=60°，AD平分∠CAB，

∴∠CDB=120°，∠COB=120°，∠CAD=∠DAB=30°，

∴∠CDF=60°, =,

∴∠COD=∠BOD=60°，

∵OC=OD,

∴∠OCD=60°，

∵CF⊥BD，

∴∠CFD=90°，

∴∠DCF=30°，

∴∠OCF=90°，

∴CF是⊙O的切線；

∵OC=OB，∠COD=∠BOD，

∴OG⊥BC，

∵∠OCD=60°，∠COD=60°，

∴△COD為等邊三角形，

∴OG=GD，∠CDG=∠DOB=60°，

在△CGD和△OGB中，

，

∴△CGD≌△OGB，

∴S△CGD=S△OGB，

∴S陰影=S扇形BOD==.