Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，A（2，0）、B（0，3），過點(diǎn)B作直線l∥x軸，點(diǎn)P（a，3）是直線上的動(dòng)點(diǎn)，以AP為邊在AP右側(cè)作等腰RtAPQ，∠APQ=90°，直線AQ交y軸于點(diǎn)C．

(1)當(dāng)a=時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)PA+PO最小時(shí)，求a.

Answer 1

【答案】(1)（4.5，3.5）；(2)a=1

【解析】試題分析：（1）要求點(diǎn)Q的坐標(biāo)，可作QF⊥BP，由于BP、OB已知，只需求出PF和QF．從條件“△APQ為等腰直角三角形”出發(fā)，構(gòu)造全等，即可解決問題．

（2）本題要求動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A、O的距離之和AP+OP的最小值，只需找到點(diǎn)O關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)M，連接AM，AM與直線l的交點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)P，就可求出a的值．

試題解析：（1）過點(diǎn)P作PE⊥OA，垂足為E，過點(diǎn)Q作QF⊥BP，垂足為F，如圖1，

∵BP∥OA，PE⊥OA，∴∠EPF=∠PEO=90°，

∵∠APQ=90°，∴∠EPA=∠FPQ=90°-∠APF，

在△PEA和△PFQ中， ，∴△PEA≌△PFQ，

∴PE=PF，EA=QF，

∵a=1，∴P（1，3），∴OE=BP=1，PE=3，

∵A（2，0），∴OA=2，∴EA=1，∴PF=3，QF=1，

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（4，4）；

（2）如圖，作點(diǎn)O關(guān)于直線l 的對(duì)稱點(diǎn)M，連接AM，交直線l于點(diǎn)P，則此時(shí)OP+OA的值最小，

由題意易用得點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，6），

設(shè)直線AM的解析式為y=kx+b，

則有 ，解得 ，所以直線AM的解析式為：y=-3x+6，

當(dāng)y=3時(shí)，3=-3x+6，解得x=1，所以點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，3），所以a=1.