【題目】如圖,三角形ABC中,AC=BC,D是BC上的一點,連接AD,DF平分∠ADC交∠ACB的外角∠ACE的平分線于F.
(1)求證:CF∥AB;
(2)若∠DAC=40°,求∠DFC的度數.
【答案】(1)詳見解析;(2)20°.
【解析】
(1)根據等邊對等角得到∠ABC=∠BAC,由三角形外角的性質得到∠ACE=∠B+∠BAC=2∠ABC,由角平分線的定義得到∠ACE=2∠FCE,等量代換得到∠ABC=∠FCE,根據平行線的判定定理即可得到結論;
(2)根據角平分線的定義和三角形外角的性質即可得到結論.
(1)證明:∵AC=BC,
∴∠ABC=∠CAB,
∴∠ACE=∠ABC+∠CAB=2∠ABC
∵CF是∠ACE的平分線,
∴∠ACE=2∠FCE
∴2∠ABC=2∠FCE,
∴∠ABC=∠FCE,
∴CF∥AB;
(2)∵CF是∠ACE的平分線,
∴∠ACE=2∠FCE=∠ADC+∠DAC
∵DF平分∠ADC,
∴∠ADC=2∠FDC;
∴2∠FCE=∠ADC+∠DAC=2∠FDC+∠DAC,
∴2∠FCE﹣2∠FDC=∠DAC
∵∠DFC=∠FCE﹣∠FDC
∴2∠DFC=2∠FCE﹣2∠FDC=∠DAC=40°
∴∠DFC=20°.
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【題目】某蘋果生產基地,用30名工人進行采摘或加工蘋果 ,每名工人只能做其中一項工作.蘋果的銷售方式有兩種:一種是可以直接出售;另一種是可以將采摘的蘋果加工成罐頭出售.直接出售每噸獲利4 000元;加工成罐頭出售每噸獲利10 000元.采摘的工人每人可采摘蘋果0.4噸;加工罐頭的工人每人可加工0.3噸.設有x名工人進行蘋果采摘,全部售出后,總利潤為y元.
(1)求y與x的函數關系式;
(2)如何分配工人才能獲利最大?
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【題目】如圖:在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,過點C在△ABC外作直線MN,AM⊥MN于M,BN⊥MN于N.
(1)MN=AM+BN成立嗎?為什么?
(2)若過點C在△ABC內作直線MN,AM⊥MN于M,BN⊥MN于N,則AM、BN與MN之間有什么關系?請說明理由.
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【題目】如圖,四邊形ABCD是矩形,點E在CD邊上,點F在DC延長線上,AE=BF.
(1)求證:四邊形ABFE是平行四邊形;
(2)若∠BEF=∠DAE,AE=3,BE=4,求EF的長.
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【題目】(1)觀察下列圖形與等式的關系,并填空:
(2)利用(1)中結論,解決下列問題:
①1+3+5+…+2005= ;
②計算:101+103+105+…+199;
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,等腰直角三角形ABC的頂點A在x軸上,AB=AC,∠BAC=90°,且A(2,0)、B(3,3),BC交y軸于M,
(1)求點C的坐標;
(2)連接AM,求△AMB的面積;
(3)在x軸上有一動點P,當PB+PM的值最小時,求此時P的坐標.
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【題目】觀察下面三行數:
-1、2、-4、8、-16、32、-64、……①
0、3、-3、9、-15、33、-63、……②
1、-5、7、-17、31、-65、127、……③
(1) 第①行的第8個數是___________,第①行第n個數是___________(用n的式子表示)
(2) 取第①、②、③行的第10個數分別記為a、b、c,求a-b+c的值
(3) 取每行數的第n個數,這三個數中任意兩數之差的最大值為6146,則n=__________
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【題目】甲、乙兩個服裝廠加工同種型號的防護服,甲廠每天加工的數量是乙廠每天加工數量的1.5倍,兩廠各加工600套防護服,甲廠比乙廠要少用4天.
(1)求甲、乙兩廠每天各加工多少套防護服?
(2)已知甲、乙兩廠加工這種防護服每天的費用分別是150元和120元,疫情期間,某醫(yī)院緊急需要3000套這種防護服,甲廠單獨加工一段時間后另有安排,剩下任務只能由乙單獨完成.如果總加工費不超過6360元,那么甲廠至少要加工多少天?
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,△DCE是△ABC繞著點C順時針方向旋轉得到的,此時B、C、E在同一直線上.
(1)旋轉角的大小;
(2)若AB=10,AC=8,求BE的長.
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