【題目】如圖,已知點(diǎn)A(8,0),sin∠ABO=,拋物線經(jīng)過點(diǎn)O、A,且頂點(diǎn)在△AOB的外接圓上,則此拋物線的表達(dá)式為_____.
【答案】y=﹣x2+4x或y=x2﹣x.
【解析】
連接AC,過圓心O′作EF⊥OA,根據(jù)圓周角定理可得∠ABO=∠OCA,從而求出直徑AC=10,以及勾股定理和垂徑定理得出E,F點(diǎn)著的坐標(biāo),進(jìn)而分兩種情況利用頂點(diǎn)式求出拋物線解析式即可.
解:如圖所示:連接AC,過圓心O′作EF⊥OA,
∵∠AOC=90°,∠ABO=∠OCA,
∴ ,
∵點(diǎn)A(8,0),
∴AC=10,
根據(jù)題意得出:AM=OM=4,AO′=5,
∴MO′=3,∴MF=2,
∴F點(diǎn)坐標(biāo)為:(4,﹣2),
設(shè)過O,A,F的拋物線解析式為:y=a(x﹣4)2﹣2,
將A代入(8,0)得:0=a(8﹣4)2﹣2,
解得:a=,
∴此時(shí)拋物線解析式為:y=(x﹣4)2﹣2=x2﹣x,
根據(jù)題意得出:AM=OM=4,AO′=5,
∴MO′=3,∴ME=8,
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為:(4,8),
設(shè)過O,A,E的拋物線解析式為:y=a(x﹣4)2+8,
將A代入(8,0)得:
0=a(8﹣4)2+8,
解得:a=﹣,
∴此時(shí)拋物線解析式為:y=﹣(x﹣4)2+8=﹣x2+4x,
故答案是:y=﹣x2+4x或y=x2﹣x.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將一塊含有45°的三角板ABC的頂點(diǎn)A放在⊙O上,且AC與⊙O相切于點(diǎn)A(如圖1),將△ABC從點(diǎn)A開始,繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn),設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α(0°<α<135°),旋轉(zhuǎn)后,AC、AB分別與⊙O交于點(diǎn)E,F,連接EF(如圖2).已知AC=8,⊙O的半徑為4.
(1)在旋轉(zhuǎn)過程中,有以下幾個(gè)量:①弦EF的長;②的長;③∠AFE的度數(shù);④點(diǎn)O到EF的距離.其中不變的量是___________________(填序號(hào));
(2)當(dāng)α=________°時(shí),BC與⊙O相切(直接寫出答案);
(3)當(dāng)BC與⊙O相切時(shí),求△AEF的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】教室講臺(tái)上粉筆盒中有紅粉筆1支,黃粉筆1支,白粉筆2支,這些粉筆除顏色外其余都相同.
(1)小亮認(rèn)為從粉筆盒中隨機(jī)拿一支,只有紅、黃、白三種可能,所以拿到紅粉筆的概率是,你同意小亮的看法嗎? (填“同意”或“不同意”);
(2)李老師在上課前,隨機(jī)中粉筆盒中拿出兩支粉筆,求他拿到都是白粉筆的概率,請(qǐng)用樹狀圖或列表法說明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,將矩形ABCD的四個(gè)角向內(nèi)折疊鋪平,恰好拼成一個(gè)無縫隙無重疊的矩形EFGH,若EH=5,EF=12,則矩形ABCD的面積是( )
A. 13 B. C. 60 D. 120
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=kx+4(k≠0)交x軸于點(diǎn)A(8,0),交y軸于點(diǎn)B,
(1)k的值是 ;
(2)點(diǎn)C是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)D和點(diǎn)E分別在x軸和y軸上.
①如圖,點(diǎn)E為線段OB的中點(diǎn),且四邊形OCED是平行四邊形時(shí),求OCED的周長;
②當(dāng)CE平行于x軸,CD平行于y軸時(shí),連接DE,若△CDE的面積為,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某社區(qū)決定把一塊長,寬的矩形空地建成居民健身廣場,設(shè)計(jì)方案如圖,陰影區(qū)域?yàn)榫G化區(qū)(四塊綠化區(qū)為大小、形狀都相同的矩形),空白區(qū)域?yàn)榛顒?dòng)區(qū),且四周的4個(gè)出口寬度相同,其寬度不小于,不大于,設(shè)綠化區(qū)較長邊為,活動(dòng)區(qū)的面積為.為了想知道出口寬度的取值范圍,小明同學(xué)根據(jù)出口寬度不小于,算出.
(1)求與的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出自變量的取值范圍;
(2)求活動(dòng)區(qū)的最大面積;
(3)預(yù)計(jì)活動(dòng)區(qū)造價(jià)為50元/,綠化區(qū)造價(jià)為40元/,若社區(qū)的此項(xiàng)建造投資費(fèi)用不得超過72000元,求投資費(fèi)用最少時(shí)活動(dòng)區(qū)的出口寬度?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖線段AB的端點(diǎn)在邊長為1的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上,現(xiàn)將線段AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段AC.
(1)請(qǐng)你用尺規(guī)在所給的網(wǎng)格中畫出線段AC及點(diǎn)B經(jīng)過的路徑;
(2)若將此網(wǎng)格放在一平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,3),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-2,-1),則點(diǎn)C的坐標(biāo)為 ;
(3)線段AB在旋轉(zhuǎn)到線段AC的過程中,線段AB掃過的區(qū)域的面積為 ;
(4)若有一張與(3)中所說的區(qū)域形狀相同的紙片,將它圍成一個(gè)幾何體的側(cè)面,則該幾何體底面圓的半徑長為
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,我們把一個(gè)半圓與拋物線的一部分圍成的封閉圖形稱為“果圓”.已知點(diǎn)A、B、C、D分別是“果圓”與坐標(biāo)軸的交點(diǎn),拋物線的解析式為y=x2﹣6x﹣16,AB為半圓的直徑,則這個(gè)“果圓”被y軸截得的線段CD的長為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,等腰Rt△ABC中,BA=BC,∠ABC=90°,點(diǎn)D在AC上,將△ABD繞點(diǎn)B沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后,得到△CBE.
(1)求∠DCE的度數(shù);
(2)若AB=4,CD=3AD,求DE的長.
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