Question

如圖所示，四邊形ABCD為正方形，△BEF為等腰直角三角形（∠BFE=90°，點B、E、F按逆時針順序），P為DE的中點，連接PC、PF．
（1）如圖（1），E點在邊BC上，則線段PC、PF的數(shù)量關(guān)系為______，位置關(guān)系為______（不需要證明）．
（2）如圖（2），將△BEF繞B點順時針旋轉(zhuǎn)α°（0＜α＜45），則線段PC、PF有何數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請寫出你的結(jié)論并證明．
（3）如圖（3），E點旋轉(zhuǎn)到圖中的位置，其它條件不變，完成圖（3），則線段PC、PF有何數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？直接寫出你的結(jié)論，不需要證明．

Answer 1

解：（1）∵∠BFE=90°，點P為DE的中點
∴PF=PD=PE，
同理可得PC=PD=PE，
∴PC=PF，
又∵∠FPE=2∠FDP，∠CPE=2∠PDC，
∴∠FPC=2∠FDC=90°，
所以PC=PF，PC⊥PF．
故答案為：相等、垂直；

（2）PC⊥PF，PF=PC．理由如下：
延長FP至G使PG=PF，連DG，GC，F(xiàn)C，延長EF交BD于N，如圖，
∵點P為DE的中點，
∴△PDG≌△PEF，
∴DG=EF=BF．
∴∠PEF=∠PDG，
∴EN∥DG，
∴∠BNE=∠BDG=45°+∠CDG=90°-∠NBF=90°-（45°-∠FBC）
∴∠FBC=∠GDC，
∴△BFC≌△DGC，
∴FC=CG，∠BCF=∠DCG．
∴∠FCG=∠BCD=90°．
∴△FCG為等腰Rt△，
∵PF=PG，
∴PC⊥PF，PF=PC；

（3）畫圖：
線段PC、PF有何數(shù)量關(guān)系相等，位置關(guān)系垂直．
分析：（1）由∠BFE=90°，點P為DE的中點，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到PF=PD=PE，PC=PD=PE，則PC=PF，又∠FPE=2∠FDP，∠CPE=2∠PDC，得到∠FPC=2∠FDC=90°，所以PC=PF，PC⊥PF．
（2）延長FP至G使PG=PF，連DG，GC，F(xiàn)C，延長EF交BD于N，易得△PDG≌△PEF，得DG=EF=BF，得∠PEF=∠PDG，EN∥DG，可得∠FBC=∠GDC，證得△BFC≌△DGC，則FC=CG，∠BCF=∠DCG．得∠FCG=∠BCD=90°．即有PC⊥PF，PF=PC．
（3）根據(jù)題目要求畫出圖形，由（1）（2）得出結(jié)論．
點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形全等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．也考查了正方形的性質(zhì)和三角形全等的判定與性質(zhì)．