Question

【題目】如圖，已知：AB∥CD，求證：∠B+∠D+∠BED=360°．（至少用三種方法）

Answer 1

【答案】證明：①連接BD，如圖，
∵AB∥CD（已知），
∴∠ABD+∠CDB=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．
∵∠1+∠2+∠BED=180°（三角形內(nèi)角和為180°），
∴∠ABD+∠1+∠CDB+∠2+∠BED=360°，
即∠ABE+∠CDE+∠BED=360°．
②延長(zhǎng)DE交AB延長(zhǎng)線于F，如圖

∵AB∥CD（已知），
∴∠F+∠D=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．
∵∠ABE=∠FEB+∠F，
∠BED=∠FBE+∠F（三角形一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和）
∴∠ABE+∠CDE+∠BED
=∠FEB+∠F+∠CDE+∠FBE+∠F
=180°+180°
=360°．
③過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，如圖

∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD（如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）
∴∠B+∠BEF=180°
∠D+∠DEF=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）
∴∠B+∠BEF+∠D+∠DEF
=180°+180°
=360°．
【解析】要證明∠B+∠D+∠BED=360°，可利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)及三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)，作出恰當(dāng)?shù)妮o助線求解．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和外角的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握由角的相等或互補(bǔ)（數(shù)量關(guān)系）的條件，得到兩條直線平行（位置關(guān)系）這是平行線的判定；由平行線（位置關(guān)系）得到有關(guān)角相等或互補(bǔ)（數(shù)量關(guān)系）的結(jié)論是平行線的性質(zhì)；三角形的三個(gè)內(nèi)角中，只可能有一個(gè)內(nèi)角是直角或鈍角；直角三角形的兩個(gè)銳角互余；三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角才能正確解答此題．